内容发布更新时间 : 2024/5/21 17:50:18星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数值分析习题参考解答 江世宏编

第一章 绪论

姓名 学号 班级

习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为0.5?10,那么近似数0.003400有几位有效数字？（有效数字的计算）

*?2解：x?0.3400?10，x?x?*?511?10?5??10?2?3 22故具有3位有效数字。

2 ??3.14159?具有4位有效数字的近似值是多少？（有效数字的计算）

*解：??0.314159??10，欲使其近似值?具有4位有效数字，必需

???*?111?101?4，???10?3??*????10?3，即3.14109??*?3.14209 222即取（3.14109 , 3.14209）之间的任意数，都具有4位有效数字。

3 已知a?1.2031，b?0.978是经过四舍五入后得到的近似值，问a?b，a?b有几位有效数字？（有效数字的计算）

11?10?3，b?b*??10?2，而a?b?2.1811，a?b?1.1766 22111(a?b)?(a*?b*)?a?a*?b?b*??10?3??10?2??101?2

222故a?b至少具有2位有效数字。

0.9781.20311(ab)?(a*b*)?ba?a*?a*b?b*??10?3??10?2?0.0065??101?2222故a?b至少具有2位有效数字。

解：a?a*?4 设x?0，x的相对误差为?，求lnx的误差和相对误差？（误差的计算） 解：已知

x?x*x*??，则误差为 lnx?lnx*?1lnx*x?x*x*??

则相对误差为

lnx?lnx*lnx*?x?x*x*??lnx*

**5测得某圆柱体高度h的值为h?20cm，底面半径r的值为r?5cm，已知

|h?h*|?0.2cm，|r?r*|?0.1cm，求圆柱体体积v??rh的绝对误差限与相对误差

限。（误差限的计算） 解：

2v(h,r)?v(h*,r*)?2?r*h*r?r*??r*2h?h*

绝对误差限为

v(h,r)?v(20,5)?2???5?20?0.1???52?0.2?25?1

数值分析习题参考解答 江世宏编

v(h,r)?v(20,5)相对误差限为

v(20,5)?25?1??4% 2??5?20206 设x的相对误差为a%,求y?xn的相对误差。（函数误差的计算） 解：

x?x*x*?a%，

y?y*y*?xn?x*nx*n?nx?x*x*?(na)%

7计算球的体积，为了使体积的相对误差限为1%，问度量半径r时允许的相对误差限为多大？（函数误差的计算） 解：球体积为 v(r)?344???r3，v(r*)????r* 33欲使

v(r)?v(r*)v(r*)1?4???r*2r?r*4???r*33?3r?r*r*?1%，必须

r?r*r*1?%。 38 设In?e?1nxx?edx，求证： 0（1）In?1?nIn?1(n?0,1,2?)

（2）利用（1）中的公式正向递推计算时误差逐步增大；反向递推计算时误差逐步减小。（计

算方法的比较选择）

1解：In?e1?1?xde?e[xe0?1nx?1nx1011n?1x?1n?1xx?edx?1?nIn?1 0?n?xedx]?1?ne0I0?e?1?edx?e0x(e?1)?1?e?1

*如果初始误差为?0?I0?I0，若是向前递推，有

**?n?In?In?(1?nIn?1)?(1?nIn)2n(n?1)?n?2???(?1)nn!?0 ?1)??n?n?1?(?1可见，初始误差?0的绝对值被逐步地扩大了。 如果是向后递推In?1?11?In，其误差为 nn1111*1(?1)n21?0?(?I1)?(?I1)???1?(?1)?2????n 111111?2n!可见，初始误差?n的绝对值被逐步减少了。

2

数值分析习题参考解答 江世宏编

第二章 插值法

姓名 学号 班级

习题主要考察点：拉格朗日插值法的构造，均差的计算，牛顿插值和埃尔米特插值构造，插值余项的计算和应用。

1 已知f(?1)?2,f(1)?1,f(2)?1，求f(x)的拉氏插值多项式。（拉格朗日插值） 解法一（待定系数法）：设L(x)?ax2?bx?c，由插值条件，有

?a?b?c?2??a?b?c?1 ?4a?2b?c?1?解得：a?1/6,b??1/2,c?4/3。 故 L(x)?1214x?x?。 623解法二（基函数法）：由插值条件，有

L(x)?(x?1)(x?2)(x?1)(x?2)(x?1)(x?1)?2??1??1

(?1?1)(?1?2)(1?1)((1?2)(2?1)(2?1)111?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?2)?(x?1)(x?1) 323114?x2?x? 6232 已知y?x,x0?4,x1?9，用线性插值求7的近似值。（拉格朗日线性插值）

4?2，y1?9?3，其线性插值函数为

解：由插值节点与被插函数，可知，y0?x?9x?416?2??3?x? 4?99?4557613?2.6。 7的近似值为L(7)???555L(x)?3 若xj(j?0,1,...n)为互异节点，且有

lj(x)?试证明

(x?x0)(x?x1)?(x?xj?1)(x?xj?1)?(x?xn)(xj?x0)(xj?x1)?(xj?xj?1)(xj?xj?1)?(xj?xn)

?xlj?0nkjj（拉格朗日插值基函数的性质） (x)?xk(k?0,1,...n)。

3