内容发布更新时间 : 2025/1/6 17:58:11星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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考纲解读明方向 考纲内容 1.利用导数研究函数的单调性、极(最)值，并会解决与之有关的方程1.导数与不等3年3考★(不等式)问题； 式 2.会利用导数解决某些简单的实际问题.

2018年高考全景展示 1.【2018年浙江卷】已知函数f(x)=

?lnx．

★★ 数学计算 3.特别关注: 利用导数研究函数的零点问题. 逻辑推理 些实际问题. 考 点 考查频度 学科素养 规律与趋向 1.高频考向:利用导数解决与之有关的方程（不等式）问题 2.低频考向:利用导数解决某（Ⅰ）若f(x)在x=x1，x2(x1≠x2)处导数相等，证明：f(x1)+f(x2)>8?8ln2；

（Ⅱ）若a≤3?4ln2，证明：对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ）见解析

【解析】分析: （Ⅰ）先求导数，根据条件解得x1，x2关系，再化简f(x1)+f(x2)为基本不等式求得

，利用

取值范围，最后根据函数单调性证明不等式，（Ⅱ）一方面利用零点存在定理证明函数

有零点，另一方面，利用导数证明函数

一个零点.两者综合即得结论.

在上单调递减，即至多

2

1

x （0，16） - 16 0 2-4ln2 （16，+∞） + ，即

．

所以g（x）在[256，+∞）上单调递增，故

由（Ⅰ）可知g（x）≥g（16），又a≤3–4ln2，故–g（x）–1+a≤–g（16）–1+a=–3+4ln2+a≤0， 所以h′（x）≤0，即函数h（x）在（0，+∞）上单调递减，因此方程f（x）–kx–a=0至多1个实根． 综上，当a≤3–4ln2时，对于任意k>0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点． 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略：(1) 构造差函数

.根据差函数导函数符

号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式.（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.

2.【2018年全国卷Ⅲ文】已知函数（1）求曲线（2）证明：当

在点时，

处的切线方程；

．

．

【答案】（1）切线方程是（2）证明见解析

【解析】分析：（1）求导，由导数的几何意义求出切线方程。 （2）当可。

时，

,令

，只需证明

即

详解：（1），．因此曲线在点处的切线方程是．

2

1

（2）当当所以

时，时，

，

单调递减；当

．

．令时，

，

，则

单调递增；

．

．因此

点睛：本题考查函数与导数的综合应用，由导数的几何意义可求出切线方程，第二问当

,令

题难度较大。

3．【2018年全国卷II文】已知函数（1）若（2）证明：

，求

的单调区间；

．

，将问题转化为证明

时，

很关键，本

只有一个零点．

），（

，+∞）单调递增，在（

，

）单调递减．

【答案】（1）f（x）在（–∞，（2）f（x）只有一个零点． 【解析】分析：（1）将

代入，求导得，令求得增区间，令求得减区

间；（2）令

只有一个零点问题，研究函数

，即单调性可得.

，则将问题转化为函数

（2）由于，所以等价于．

设=，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0，所以g（x）在（–∞，

+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点． 又f（3a–1）=

综上，f（x）只有一个零点．

点睛：（1）用导数求函数单调区间的步骤如下：①确定函数

的定义域；②求导数

；③由

（或

，f（3a+1）=

，故f（x）有一个零点．

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