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海淀区高一年级期中统一练习
数 学
2019.04
学校 班级 姓名 成绩
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
（1）sin30?cos15??cos30?sin15?等于 ( )
（A）
21 （B） （C）cos15? （D）sin15?
22（2）已知正四棱锥的底面边长为2，高为3，则它的体积为 （ ）
（A）2 （B）4 （C）6
（D）12
（3） 在△ABC中，a?1，c?2，?A?30，则?C等于 ( )
（A）45 （B）60 （C）90 （D）120
（4）已知直线m和平面?,?，则下列四个命题中正确的是 （ ）
（A）若???，m??，则m?? （B）若m（C）若?（D）若??，m?，则??
?，m?，则m?
?，m??，则m??
（5）如图，正方体ABCD?A1B1C1D1被平面ACB1和平面ACD1分别截去三棱锥B?ACB1和三棱锥
D?ACD1后，得到一个n面体，则这个n面体的左视图和n值为 A D
BC（ ）
B1A1C1D11
x=6x=6x=7x=7A. B. C. D.
（A）6 （B）6 （C）7 （D）7
（6）已知0????,??(,π)，sin??π214，sin??，则cos(???)等于（ ） 25 （C）（A）4?334?33 （B） 1010?4?3333?4 （D） 1010（7）已知球O的半径为1，A,B是该球面上的两点，且线段AB?1，点P是该球面上的一个动点（不与A,B重合），则?APB的最小值与最大值分别是 （ ）
（A） π5ππππ3ππ2π, （B） , （C） , （D） , 66424433（8）由等边三角形组成的网格如图所示，多边形ABCDEFGHIJ是某几何体的表面展开图，对于
该几何体（顶点的字母用展开图相应字母表示，对于重合的两点，取字母表中靠前的字母表示），下列结论中正确的是 （ ） （A）BJ?平面ADJ （B）平面BCJ平面EAD
（C）平面ECB?平面EAD （D）BE?AJ
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24把答案填在题中横线上.
（9）已知圆柱的底面半径为1，母线长为2，则其侧面积为 .
（10）在△ABC中，sinB?sinC,a?3c，则?B=______.
（11）已知正方形ABCD的边长为1，将△ADC沿对角线AC折起，若折叠后平面ACD⊥平面ACB，
则此时点B,D之间的距离是 . （12）已知?,??(0,)，tan??ABJIDCHEGF分，
π211,tan??，则???= . 32（13）在△ABC中，c?4，?B?30?，请给出一个b的值，使得此三角形有两解，则b的一个
值是 .
（14）如图所示，在长方体ABCD?A1B1C1D1中，BB1?B1D1，点E是棱CC1上的一个动点，若平面BED1交棱AA1于点F，给出下列命题：.
2
① 四棱锥B1?BED1F的体积恒为定值； ②存在点E，使得B1D?平面BD1E；
D1C1③存在唯一的点E，使得截面四边形BED1F的周长取得最A1B1E值；
④存在无数个点E，在棱AD上均有相应的点G，使得
DCCG平面EBD1，也存在无数个点E，对棱AD上任意的
ABG， 直线CG与平面EBD1均相交.
其中真命题的是_____ ___．（填出所有正确答案的序号）
三、解答题：本大题共4小题，共44分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. （15）（本小题共11分）
已知f(x)?2cosx(sinx?3cosx)?3. （Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及单调递增区间; （Ⅱ）求函数f(x)在区间[0,π2]上的取值范围.
(16)（本小题共11分）
在△ABC中，点D是BC边上一点，AD?2 ,AC?7 ,?ADC?60?.
（Ⅰ）求cosC的值； （Ⅱ）若△ABD的面积为
32，求sin?BAC的值.
(17)（本小题共12分）
已知四棱锥P?ABCD的底面ABCD是菱形. （Ⅰ）求证：AD//平面PBC；
3
小
点
（Ⅱ）若PB?PD， 求证：BD?平面PAC； （Ⅲ）（下面两问任选一问作答，第（1）问满分4第（2）问满分5分） ①E,F分别是AB,P分，
P上D的点，若
PF的值. PDADBCEF//平面PBC,AE?2EB，求
②若?DAB?60?，平面PAD?平面ABCD ，PB?PD ，判断△PAD是否为等腰三角形？并说明理由.
(18)（本小题共10分）
已知非常数函数f(x)的定义域为R，如果存在正数T，使得?x?R，都有f(x?T)?Tf(x)恒成立，则称函数f(x)具有性质T.
（Ⅰ）判断下列函数是否具有性质T ？并说明理由;
① f1(x)?2x?1；②f2(x)?cos(2πx?1).
（Ⅱ）若函数f(x)?sin(?x??)(??0)具有性质T，求?的最小值;
（Ⅲ）设函数g(x)具有性质T，且存在M?0，使得?x?R，都有g(x)?M成立，求证：g(x)是周期函数.
附加题：（本题满分5分。所得分数可计入总分，但整份试卷得分不超过100分） 设P为多面体M的一个顶点，定义多面体M在点P处的离散曲率为
1?4
1??Q1PQ2??Q2PQ3?2π??Qk?1PQk??QkPQ1?，