内容发布更新时间 : 2025/1/24 11:05:41星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
几何证明选讲
A组(供高考题型为填空题的省份使用)
1．如图，∠B＝∠D，AE⊥BC，∠ACD＝90°，且AB＝6，AC＝4，AD＝12，则BE＝________.
解析 ∵AC＝4，AD＝12，∠ACD＝90°， ∴CD＝AD－AC＝128，∴CD＝82. 又∵AE⊥BC，∠B＝∠D，∴△ABE∽△ADC， ∴＝，∴BE＝答案 42
2．如图，A，E是半圆周上的两个三等分点，直径BC＝4，AD⊥BC，垂足为D，BE与AD相交于点F，则AF的长为________．
2
2
2
ABBEADCDAB·CD6×82
＝＝42. AD12
解析 如图，连接CE，AO，AB.根据A，E是半圆周上的两个三等分点，BC为直径，可得∠CEB＝90°，∠CBE＝30°，∠AOB＝60°，故△AOB为等边三角形，AD＝3，OD＝
BD＝1，∴DF＝
3， 3
23
∴AF＝AD－DF＝. 3答案
23
3
3．如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，CB⊥AB，AB＝AD＝a，CD＝，点E，F分别为线段
2
aAB，AD的中点，则EF＝________.
1
解析 连接DE，由于E是AB的中点，故BE＝.
2
a
又CD＝，AB∥DC，CB⊥AB，
2∴四边形EBCD是矩形．
在Rt△ADE中，AD＝a，F是AD的中点，故EF＝.
2答案
2
4.如图，已知PA，PB是圆O的切线，A，B分别为切点，C为圆O上不与A，B重合的另一点，若∠ACB＝120°，则∠APB＝________.
aaa
解析 如图，连接OA，OB，∠PAO＝∠PBO＝90°，
∵∠ACB＝120°，
∴∠AOB＝120°.又P，A，O，B四点共圆，故∠APB＝60°. 答案 60°
5．如图，点P在圆O直径AB的延长线上，且PB＝OB＝2，PC切圆O于C点，CD⊥AB于D点，则CD＝________.
2
解析 由切割线定理知，C＝PA·PB，解得PC＝23.连接OC，又OC⊥PC，故CD＝23×2
＝3. 4
3
2
PC·OCPO＝
答案
6．如图，点A、B、C都在⊙O上，过点C的切线交AB的延长线于点D，若AB＝5，BC＝3，
CD＝6，则线段AC的长为________．
解析 由切割线定理，得CD＝
2
BD·AD.
因为CD＝6，AB＝5，则36＝BD(BD＋5)， 即BD＋5BD－36＝0，
即(BD＋9)(BD－4)＝0，所以BD＝4.
因为∠A＝∠BCD，所以△ADC∽△CDB，于是＝
2
ACCD.
CBBDCD69
所以AC＝·BC＝×3＝.
BD42
9
答案
2
7．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，AB＝20，过C作△ABC的外接圆的切线CD，
BD⊥CD，BD与外接圆交于点E，则DE的长为______．
3
解析 由题意，得弦切角∠BCD＝∠A＝60°，∠ACB＝∠D＝90°， ∴△ABC∽△CBD. ∴＝，CD＝
ABACCBCDCB·AC20sin 60°×20cos 60°
＝＝53. AB20
2
2
CD25325×3
又∵CD与圆相切，∴CD＝DE·DB，则DE＝＝＝
DBCBsin 60°20×sin 60°×sin 60°
＝5. 答案 5
8．如图，⊙O的割线PBA过圆心O，弦CD交PA于点F，且△COF∽△PDF，若PB＝OA＝2，则PF＝________.
解析 由相交弦定理可得BF·AF＝DF·CF， 由△COF∽△PDF可得＝
CFOF， PFDF即得DF·CF＝PF·OF.∴BF·AF＝PF·OF， 即(PF－2)·(6－PF)＝PF·(4－PF)，解得PF＝3. 答案 3
PB1PC1
9．如图，四边形ABCD是圆O的内接四边形，延长AB和DC相交于点P.若＝，＝，
PA2PD3
则的值为________．
BCAD
解析 ∵∠P＝∠P，∠PCB＝∠PAD， ∴△PCB∽△PAD.∴＝＝PBPCBC.
PDPAADPB1PC1BC6∵＝，＝，∴＝. PA2PD3AD6
答案
6
6
4
10．如图，AB是圆O的直径，点C在圆O上，延长BC到D使BC＝CD，过C作圆O的切线交
AD于E.若AB＝6，ED＝2，则BC＝________.
解析 C为BD中点，且AC⊥BC，故△ABD为等腰三角形．AB＝AD＝6，∴AE＝4，DE＝2，又＝?AC＝AE·AD＝4×6＝24，AC＝26，
2
AEACACAD在△ABC中，BC＝AB－AC＝36－24＝23. 答案 23
11．如图，已知Rt△ABC的两条直角边AC，BC的长分别为3 cm，4 cm，以AC为直径的圆与AB交于点D，则BD＝________cm.
22
解析 如图，连接DC，则CD⊥AB，
Rt△ADC∽Rt△ACB.
ADACAD3故＝，即＝， ACAB35AD＝(cm)， BD＝5－＝(cm)．
答案
16
595
16595
12．如图所示，直线PB与圆O相切于点B，D是弦AC上的点，∠PBA＝∠DBA.若AD＝m，AC＝n，则AB＝________.
5