内容发布更新时间 : 2024/12/27 22:58:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

湖南大学 数学分析

一．（15分）设f(x)在?0,1?上连续，证明：

h?0?lim?h?f(x)dx?f(0).

0h2?x221二．（15分）证明函数

?x?2??e,x?0f(x)??

??0,???????????????x?0是无穷次可微函数.

x2三．（15分）设pn(x)?1?x??2!limx???. 求证：xm?0，且有m??mxn ?,xm是p2m?1(x)?0的实根。

n!四．（15分）设函数f(x)满足条件： （1）???a?f(x)?b???,(a?x?b); （2）f(x)?f(y)?x?y,(x,y???a,b??). 设x1???a,b??，并且定义序列{xn}：

1xn?1?[xn?f(xn)]??(n?1,2,).

2x?x存在，且f(x)?x. 试证：nlim???n五．（15分）证明：若函数f(x)在?0,???内可微，且

x???limf'(x)?0,

则limx???f(x)?0. x

plnx??f(x)?1?六．（15分）设??，讨论积分

x??x?的敛散性。

?1f(x)dx

七．（10分）设函数列?fn(x)?在区间?a,b?上满足Lipschtz条件，即 f(x)?f(y)?Cnx?y.?x,y??a,b?.

其中Cn为与x,y无关的常数。证明：如果?Cn?为有界数列，而且在?a,b?上?fn(x)?收敛于函数f(x)，则?fn(x)?在?a,b?上一致收敛于函数f(x).

八．（15分）由方程2x2?y2?z2?2xy?2x?2y?4z?4?0所确定的函数z?z(x,y)的极值.

九．（10分）曲线L是xy平面上的任意闭曲线，L所围成的面积为S，且在曲线L上满足条件

dyey?2x?3y??x. dxe?x?yyxedx?edy，其中L取逆时针方向. 试求?L十．（15分）计算积分I???Dx?ydxd，y其中D是由

x?y?1,x?0,y?所围成的区域0.

十一．（15分）计算积分

I???Sxdydz?ydzdx?zdxdy?x2?y2?z322?.

其中S为任意光滑闭曲面.

湖南大学2006年数学分析

一（16分）设f(x)在?0,???内可微并且满足不等式

0?f(x)?ln?(2x?1)(1?x2?x)?????x?(0,??).

??证明：存在一点??(0,??)使得

f'(?)?21?.

21?2?1??10二（16分）设m,n为自然数，计算积分?tn(lnt)mdt.

三（16分）设f(x)在(??,??)上具有二阶导数且

f'x(??)?，0limf'(x)???0,又存在一点x0，使f''(x)?0,limx???x???f(x0)?0.证明方程f(x)?0在(??,??)上有且只有两个实根.

四（16分）令?an?和??n?为正数数列，假设lim?n?0，且在(0,1)n???中有一个数c使得对每个n有

an?1?can??n

成立，证明：liman?0.

n??五．（16分）令?fn(x)?为定义在(??,??)上的可导函数列，且存在常数M?0，对所有的n和x?(??,??)有

fn'(x)?M

成立.假设对x?(??,??)，有

n???limfn(x)?g(x)，

则g(x)在(??,??)上连续.

?1?2x2六（18分）已知?2?.设f(x)??2,(0?x?1).求证当

6n?1nn?1n?