内容发布更新时间 : 2024/11/19 17:52:56星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

高考二轮小专题 ：圆锥曲线题型归纳

1基础知识：

1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式；

3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：a、b、c、e、p、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法：

1． 待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数a、b、c、e、p等等；

2． 齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题；

3． 韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的

根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根；

4． 点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率

公式一个共五个等式；

5． 距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、

坐标问题；

3基本思想：

1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关；

4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点

⑴ 用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题．

⑵ 解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位

本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题．

本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右．

⑴ 圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活．

⑵ 直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题．

⑶ 求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点．

⑷ 圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势．

⑸ 数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答题中对参数问题的讨论；等价转化思想：在解题中常化曲为直．

6实例探究

一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

x2y2例1．已知椭圆2?2?1(aabb110).过点（2，—1）且方向向量为a?(,?)的直线L交椭圆与A、B两点。

22⑴若线段AB的中点为M，求直线OM的斜率（用a、b表示）； ⑵若椭圆的离心率为3，焦距为2，求线段AB的长； 3⑶在⑵的条件下，设椭圆的左焦点为F1，求?ABF1的面积。

点评：常规求值问题的方法：待定系数法，先设后求，关键在于找等式。 二、“是否存在”问题

例2．已知定点A（-2，-4），过点A作倾斜角为45度的直线L，交抛物线y?2px（p>0）于B、C两点，且线段BC长为210。

（I）求抛物线的方程；

（II）在（I）中的抛物线上是否存在点D，使得DB=DC成立？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由。

（答：y?2x。存在点D（2，2）或（8，-4）） 三、过定点、定值问题

22x2y2例3.已知椭圆C：2?2?1（a>b>0），过焦点垂直于长轴的弦长为1，且焦点与短轴两端点构成等边三角形。

ab(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)过点Q（—1，0）的直线L交椭圆于A、B两点，交直线x = —4于点E，设AQ??QB，AE??EB。求证：???为定值，并计算出该定值。

点评：距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的，比如向量中的比例以坐标转化，比如抛物线中焦半径与到准

线距离的转化。

例4．过抛物线y?4ax（a>0）的焦点F作任意一条直线分别交抛物线于A、B两点，如果?AOB（O为原点）

2S23的面积是S，求证：为定值。（答：a）

AB点评：证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。

处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明。 四．最值问题

例5．已知在平面直角坐标系xOy中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为F(?3,0),右顶点为D(2,0),设点

?1?A?1,?. ?2?（1）求该椭圆的标准方程；

（2）若P是椭圆上的动点，求线段PA中点M的轨迹方程； （3）过原点O的直线交椭圆于点B,C，求?ABC面积的最大值。

解(1)由已知得椭圆的半长轴a=2,半焦距c=3,则半短轴b=1. 又椭圆的焦点在x轴上,

x2∴椭圆的标准方程为?y2?1

4(2)设线段PA的中点为M(x,y) ,点P的坐标是(x0,y0),

x0?1?x???x0?2x?12?(2x?1)212?由? 点P在椭圆上，得?(2y?)?1, 1 得?142y?y?2y?0?0?22?y??2?∴线段PA中点M的轨迹方程是(x?)2?4(y?)2?1. (3)当直线BC垂直于x轴时,BC=2,因此△ABC的面积S△ABC=1.

1214x2当直线BC不垂直于x轴时,说该直线方程为y=kx,代入?y2?1,

4解得B(

24k?12,

2k4k?12),C(－

24k?12,－

2k4k?12),

则BC?41?k21?4k2k?,又点A到直线BC的距离d=

1221?k,

2k?114k2?4k?14k∴△ABC的面积S△ABC=AB?d? 于是S△ABC= ?1?22224k?14k?11?4k由

4k12≥－1,得S,其中,当k=－时,等号成立. ∴S△ABC的最大值是2. △ABC≤224k?1例6．已知平面内一动点P到点F（1，0）的距离与点P到y轴的距离的等等于1． （I）求动点P的轨迹C的方程；

（II）过点F作两条斜率存在且互相垂直的直线l1,l2，设l1与轨迹C相交于点A,B，l2与轨迹C相交于点D,E，求

AD?EB的最小值．

答：动点P的轨迹C的方程为,y2?4x(x?0)和y=0(x?0).

AD?EB取最小值16．

点评：最值问题的方法：几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用

切线的方法、利用均值不等式的方法等。

7、规范解题