内容发布更新时间 : 2024/11/16 22:27:02星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

§3.1 变化率与导数、导数的计算

考纲展示? 1.了解导数概念的实际背景． 2．理解导数的几何意义．

123

3．能根据导数定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x，y＝x，y＝的导数．

x4．能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如y＝f(ax＋b)的复合函数)的导数．

考点1 导数的概念及运算法则

1.导数的概念

函数y＝f(x)在x＝x0处的导数：

Δyf称函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率lim ＝lim

ΔxΔx→0

Δx→0

x0＋Δx－fx0

为函数yΔxΔy＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝lim ＝lim ________.

ΔxΔx→0

Δx→0

函数f(x)的导函数：称函数f′(x)＝ lim

Δx→0

fx＋Δx－fx为f(x)的导函数．

Δxfx0＋Δx－fx0

Δx答案：

2．基本初等函数的导数公式

基本初等函数 导函数 f(x)＝C(C为常数) f(x)＝xα(α∈Q*) f(x)＝sin x f(x)＝cos x f(x)＝ex f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f′(x)＝________ f(x)＝ax(a＞0，a≠1) 续表

基本初等函数 f′(x)＝________ 导函数 f(x)＝ln x f(x)＝logax (a＞0，a≠1) 答案：0 αxα－1

f′(x)＝________ f′(x)＝________ 1 xln a1xx cos x －sin x e aln a

x3．导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝________； (2)[f(x)g(x)]′＝________； (3)?

?fx?′＝f??gx?

xgx－fxg2

[gxx(g(x)≠0)．

答案：(1)f′(x)±g′(x) (2)f′(x)g(x)＋f(x)g′(x) 4．复合函数的导数

复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝________，即y对x的导数等于________的导数与________的导数的乘积．

答案：yu′·ux′ y对u u对x

(1)[教材习题改编]在高台跳水运动中，t s时运动员相对于水面的高度(单位：m)是h(t)＝－4.9t＋6.5t＋10.则运动员的速度v＝________，加速度a＝________.

答案：－9.8t＋6.5，－9.8

2

?π?(2)[教材习题改编]f(x)＝cos x在点?，0?处的切线的倾斜角为________．

?2?

3π

答案：

4

导数运算中的两个误区：变量理解错误；运算法则用错． (1)若函数f(x)＝2x＋a，则f′(x)＝________.

3

2

答案：6x

解析：本题易出现一种求导错解：f′(x)＝6x＋2a，没弄清函数中的变量是x，而a只是一个字母常量，其导数为0.

ln x(2)函数y＝x的导函数为__________．

e1－xln x答案：y′＝ xex1xx·e－e·ln xx1－xln x解析：y′＝＝，易用错商的求导法则． x2

xex2

2

[典题1] 分别求出下列函数的导数： (1)y＝eln x；

x?211?(2)y＝x?x＋＋3?；

?

xx?x(3)y＝x－sin cos ；

22(4)y＝ln1＋2x.

1?1x?xxxx[解] (1)y′＝(e)′ln x＋e(ln x)′＝eln x＋e·＝e?ln x＋?.

xx?x?

1232

(2)∵y＝x＋1＋2，∴y′＝3x－3.

xx11

(3)∵y＝x－sin x，∴y′＝1－cos x.

221

(4)∵y＝ln1＋2x＝ln(1＋2x)，

2111

∴y′＝··(1＋2x)′＝.

21＋2x1＋2x[点石成金] 导数的运算方法

(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导．

(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导． (3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导． (4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导．

(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导． (6)复合函数：确定复合关系，由外向内逐层求导．