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2013年广东省广州市高考数学二模试卷（理科）

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．（5分）（2013?广州二模）对于任意向量、、，下列命题中正确的是（ ） A．

|?|=||||

B．

|+|=||+丨丨

C． D． 2

（?）= （?） ?=||

考点： 平面向量数量积的运算；向量加减混合运算及其几何意义． 专题： 平面向量及应用． 分析： 根据向量数量积运算公式可判断A、D的正确性；

根据向量加法的运算法则判断B是否正确；

根据向量的数乘运算是向量，来判断C是否正确．

解答：

解：∵=||||cos，∴||≤||||，∴A错误；

根据向量加法的平行四边形法则，|+|≤||+||，只有当，同向时取“=”，∴B错误； ∵（∵

）是向量，其方向与向量相同，（=||||cos0=

，∴D正确．

）与向量的方向相同，∴C错误；

故选D

点评： 本题考查向量的数量积运算公式及向量运算的几何意义．

22

2．（5分）（2013?广州二模）直线y=kx+1与圆x+y﹣2y=0的位置关系是（ ） A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 取决于k的值

考点： 直线与圆的位置关系． 专题： 直线与圆． 分析： 根据圆的方程，先求出圆的圆心和半径，求出圆心到直线y=kx+1的距离，再和半径作比较，可得直

线与圆的位置关系．

2222

解答： 解：圆x+y﹣2y=0 即 x+（y﹣1）=1，表示以（0，1）为圆心，半径等于1的圆．

圆心到直线y=kx+1的距离为

=0，故圆心（0，1）在直线上，故直线和圆相交，

故选A． 点评： 本题主要考查求圆的标准方程的特征，直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式，属于中档题．

2

3．（5分）（2013?广州二模）若1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，则p+q=（ ） A． ﹣3 B． ﹣1 C． 1 D． 3

考点： 复数相等的充要条件． 专题： 计算题． 分析： 利用实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系即可得出．

1

解答： 解：∵1﹣i（i是虚数单位）是关于x的方程x+2px+q=0（p、q∈R）的一个解，

∴1+i是此方程的另一个解．

根据根与系数的关系可得

，解得

，

2

∴p+q=﹣1+2=1． 故选C．

点评： 熟练掌握实系数一元二次方程“虚根成对原理”及根与系数的关系是解题的关键． 4．（5分）（2013?广州二模）已知函数y=f（x）的图象如图l所示，则其导函数y=f'（x）的图象可能是（ ）

A．

B．

C．

D．

考点： 函数的单调性与导数的关系． 专题： 导数的概念及应用． 分析： 根据原函数图象的单调性及极值点的情况，得到导函数的零点个数及导函数的正负取值，由此即可

得到导函数的图象的大致形状．

解答： 解：由函数f（x）的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函

数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴右侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状． 故选A．

点评： 本题考查了函数的单调性与导函数的关系，考查原函数的极值点与导函数零点的关系，需要注意的

是，极值点处的导数等于0，导数为0的点不一定是极值点，是基础题．

5．（5分）（2013?广州二模）若函数

ω 的最小值为（ ） A． 1 B． 2 C． 4

考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析：

由题意可得cos（ω×+）=0，故有ω×+=kπ+最小值．

解答：

解：∵函数

∴cos（ω×

+

）=0，∴ω×

+

的一个对称中心是

，则

D． 8

，k∈z，再由ω为正整数可得ω 的

的一个对称中心是=kπ+

，

，k∈z，即ω=6k+2，k∈z．

2

再由ω为正整数可得ω的最小值为2， 故选B．

点评： 本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，属于中档题． 6．（5分）（2013?广州二模）一个圆锥的正（主）视图及其尺寸如图2所示．若一个平 行于圆锥底面的平面将此圆锥截成体积之比为l：7的上、下两部分，则截面的面积为．

A．

B． π

C．

D． 4π

考点： 由三视图求面积、体积． 专题： 计算题． 分析： 几何体中，体积比是相似比的立方，面积比是相似比的平方，直接求解即可． 解答： 解：设小锥体的底面半径为r，大锥体的底面半径为3，利用一个锥体被平行于底面的截面所截得的

小锥体与原锥体体积之比等于相似比的立方，

=

，

所以r=， 截面的面积为

=

．

故选C． 点评： 本题是基础题，考查几何体的体积比与相似比的关系，常用此法简化解题过程，同学注意掌握应用． 7．（5分）（2013?广州二模）某辆汽车购买时的费用是15万元，每年使用的保险费、路桥费、汽油费等约为1.5万 元．年维修保养费用第一年3000元，以后逐年递增3000元，则这辆汽车报废的最佳年 限（即使用多少年的年平均费用最少）是（ ） A． 8 年 B． 1O 年 C． 12 年 D． 15 年

考点： 数列的应用． 专题： 应用题；等差数列与等比数列． 分析： 设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，依题意，可求得前n年的总费用Sn及年平均

费用

，利用基本不等式即可求得这辆汽车报废的最佳年限．

解答： 解：设这辆汽车报废的最佳年限n年，第n年的费用为an，则

an=1.5+0.3n，

前n年的总费用为：

Sn=15+1.5n+

+

=0.15n+1.65n+15．

2

3