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2017年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

第一试

一．在锐角ΔABC中，AD⊥BC，D为垂足，DE⊥AC，E为垂足，DF⊥AB，F为垂足。O为Δ

ABC的外心。

求证：（1）ΔAEF～ΔABC；（2）AO⊥EF。

二．给定代数式 –x3+100x2+x 中的字母 x只允许在正整数范围内取值。当这个代数式的

值达到最大值时， x的值等于多少？并证明你的结论。

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三．（1）证明存在非零整数对（x,y）, 使代数式 11x2+5xy+37y2 的值为完全平方数； (2) 证明存在六个非零整数a1,b1,c1,a2,b2,c2, 其中a1:a2≠b1:b2,使得对于任意自然数n, 当x=a1n2+b1n+c1,y=a2n2+b2n+c2 时，代数式 11x2+5xy+37y2的值都是完全平方数。

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2001年我爱数学初中生夏令营数学竞赛试卷

第二试

一

．

??1?11?11??12??????3???5?26???5?26??2?323??5?26????= 。

二．在长方形ABCD中，EF∥AB，GH∥AD，EF与GH相交于O，HC与

EF相交于I。已知AH:HB=AE：ED=m:n, △COI的面积为1平方厘米，那么矩形ABCD的面积等于 平方厘米。 三．将三个数： 5,311,2?1用两个不等号“>”连接起来，正确的结果应该19是： 。

四．点D，E分别在△ABC的边AC和BC上，∠C为直角，DE∥AB，

且3DE=2AB，AE=13，BD=9，那么AB的长等于 。 五．已知：x,y,z是正整数，并且满足

3x?4y?0?? ?x?y?z?x?y?z?3?15??- 3 -