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湖北省武汉市乐其教育培训学校2017-2018年八年级数学 一次函数讲义 第八讲 动点定线与动线定点（基

础）（无答案）

【知识要点】

第 八 讲

动点定线与动线定点（基础） 运动路径与最值 一、运动与静止的统一

1．确定动点的运动轨迹（动点定线）：如何求定线解析式； 2．确定动线线上的定点（动线定点）：如何求动线上定点的坐标； 3．设定线上动点（任意点）的坐标； 4．设过定点的直线的解析式. 二、距离

1．点到点的距离：（1）定点到定点的距离；（2）定点到动点的距离的最小值； 2．点到线的距离：（1）定点到定线的距离；（2）定点到动线的距离的最大值； 3．两平行线之间的距离.

?起点?三、动点的运动路径长及几何最值： 路径（定线） ? .

?终点?

【新知讲授】

例一、动点在定线上

已知无论a 取什么实数，点 P( a -1，2 a -3)始终都在一条定直线l 上. 1．求定直线l 的函数解析式；

2．若点 Q( m ， n )也在直线l 上，则(2 m - n ＋3)2 的值等于 3．求 OP 的最小值.

；

例二、动线过定点

已知直线l1 : y ? kx ? 4k ? 2 .

（1）求证：无论k 为何值，必过一个定点 M，并求定点 M 的坐标； （2）求点 M 与动直线l2 : y ? tx ? 2t ? 3 距离的最大值.

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湖北省武汉市乐其教育培训学校2017-2018年八年级数学 一次函数讲义 第八讲 动点定线与动线定点（基础）（无

答案）

例三、已知点 P （ x0 ， y0 ） 和直线 y ? kx ? b ， 则点 P 到直线 y ? kx ? b 的距离证明可用公式

d ?

kx0 ? y0 ? b 1? k 2 计算．例如：求点 P（﹣1，2）到直线 y=3x+7 的距离．

解：∵直线 y ? 3x ? 7 ，其中k =3， b =7，

y? b 3? (?1) ? 2 ? 7 ? 10 ． ∴点P（﹣1，2）到直线 y ? 3x ? 7 的距离为： d ? kx0 ? 0 ? 1? k 2 1? 32 5 根据以上材料，解答下列问题：

（1）求点 P（1，﹣1）到直线 y ? x ?1的距离；

（2）已知直线 y ? ?2x ? 4 与 y ? ?2x ? 6 平行，求这两条直线之间的距离．

（3）已知在□ABCD 中，点 A（0，-2）、点 B（ 3m，4m ?1 ）（ m ≠-1），点 C（6，2），求对角线 BD

的最小值．

例四、如图，矩形 OABC，A 点在 x 轴正半轴上，C 点在 y 轴正半轴上，B 点的坐标为（8，6），P 为 OA边上

的一个动点，M 为线段 CP 的中点，将点 M 绕 P 点顺时针旋转 90°得到点 N. 当 P 点从 O 点运动到 A 点的过程中，求动点 N 的运动路径长.

y M N C B O P A x 2 / 4

湖北省武汉市乐其教育培训学校2017-2018年八年级数学 一次函数讲义 第八讲 动点定线与动线定点（基础）（无

答案）

例五、如图，A（4，0），△OAB 为等边三角形，P 为 x 轴上的一动点，以 BP 为边在其右侧作等边△BCD．

（1）点 Q 在某一确定的函数图象上运动，求其解析式；

（2）连接 OQ，求 OQ 的最小值．

y B N Q

O

A P x

例六、如图，直线 AB： y ? 2x ? 4 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，C（1，0）为 x 轴上一点，M 为直线

AB 上的一个动点，将线段 MC 绕点 C 顺时针旋转 90°得线段 CN． （1）设 M 点的横坐标为 m 时，试用含 m 的式子表示点 N 的坐标；

（2）当 M 在直线 AB 上运动时，点 N 总在一条定直线 l 上运动，试求直线 l 的解析式； （3）当 M 点在 AB 上的运动速度为 2 单位/秒时，求动点 Q 在定直线 l 上的运动速度； （4）请直接写出线段 ON 的最小值为

． y B

M N

A O

C x 例七、如图，A（-8，0），B（0，-4），菱形 ABCD 的对角线的交点与原点 O 重合，在边 AB 上取一点 E，延长

EO 交边 CD 于点 F，以 EF 为斜边作等腰Rt△PEF（点 P 不在第四象限），随着点 E 从 A 点 运动到 B 点，点 P 的位置也不断变化.

（1）点 P 在某一确定的函数图象上运动，求其解析式； （2）连接 DP，求 DP 的最小值．

y P D F

A E

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O B C x 3 / 4