内容发布更新时间 : 2024/12/23 10:15:49星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第五章 信号处理初步
5-1 求h(t)的自相关函数。
解:这是一种能量有限的确定性信号,所以
5-2 假定有一个信号x(t),它由两个频率、相角均不相等的余弦函数叠加而成,其数学表达式为
x(t)=A1cos(?1t+?1)+ A2cos(?2t+?2) 求该信号的自相关函数。
解:设x1(t)=A1cos(?1t+?1);x2(t)= A2cos(?2t+?2),则 因为?1??2,所以Rx1x2(?)?0,Rx2x1(?)?0。 又因为x1(t)和x2(t)为周期信号,所以
A22cos(?2?) 同理可求得Rx1(?)?2A12A22cos(?1?)?cos(?2?) 所以Rx(?)?Rx1(?)?Rx2(?)?225-3 求方波和正弦波(见图5-24)的互相关函数。
x(t) 1 sin(?t) 0 -1 T t y(t) 1 0 -1 图5-24 题5-3图
解法1:按方波分段积分直接计算。
t
解法2:将方波y(t)展开成三角级数,其基波与x(t)同频相关,而三次以上谐波与x(t)不同频不相关,不必计算,所以只需计算y(t)的基波与x(t)的互相关函数即可。
1T1T?4?Rxy(?)??x(t)y(t??)dt??sin(?t)???cos(?t???)dtT0T0???4T1???sin(?t??t???)?sin(?t??t???)?dt?0?T2所以
T2?T??sin(2?t???)dt??sin(??)dt???0?0??T?22??0?Tsin(??)???sin(??)?T?解法3:直接按Rxy(?)定义式计算(参看下图)。
x(t) 1 sin(?t) 0 -1 T t y(t) 1 0 -1 y(t+?) 1 T4? 3T4T t 0 -1
T??43T??4T t Ry(?) 参考上图可以算出图中方波y(t)的自相关函数
T/2 0 T ?
5-4 某一系统的输人信号为x(t)(见图5-25),若输出y(t)与输入x(t)相同,输入的自相关函数Rx(?)和输入—输出的互相关函数Rx(?)之间的关系为Rx(?)=Rxy(?+T),试说明该系统起什么作用?
方波的自相关函数图
x(t) 系 统 y(t) Rx(?) Rxy(?) 0 ? 图5-25 题5-4图
0 T ?
解:因为Rx(?)=Rxy(?+T) 所以lim1T1Tx(t)x(t??)dt?limx(t)y(t???T)dt
T??T?0T??T?0所以x(t+?)=y(t+?+T) 令t1 = t+?+T,代入上式得
x(t1 - T)=y(t1),即y(t) = x(t - T)
结果说明了该系统将输入信号不失真地延迟了T时间。
5-5 试根据一个信号的自相关函数图形,讨论如何确定该信号中的常值分量和周期成分。 解:设信号x(t)的均值为?x,x1(t)是x(t)减去均值后的分量,则
x(t) = ?x + x1(t)
2如果x1(t)不含周期分量,则limRx1(?)?0,所以此时limRx(?)??x;如果x(t)含周期分量,则Rx(?)
??????中必含有同频率的周期分量;如果x(t)含幅值为x0的简谐周期分量,则Rx(?)中必含有同频率的简谐周期分量,且该简谐周期分量的幅值为x02/2;
根据以上分析结论,便可由自相关函数图中确定均值(即常值分量)和周期分量的周期及幅值,参见
???下面的图。例如:如果limRx(?)?C,则?x??C。
Rx(?) ?x2+ ?x2 ?x2 0 ? ?x2- ?x2 自相关函数的性质图示 Rx(?) x0220 含有简谐周期分量的自相关函数的图
?
5-6 已知信号的自相关函数为Acos??,请确定该信号的均方值?x2和均方根值xrms。 解:Rx(?)=Acos??
?x2= Rx(0)=A
5-7 应用巴塞伐尔定理求
????sinc2(t)dt积分值。
解:令x(t)=sinc(t),其傅里叶变换为 根据巴塞伐尔定理得
5-8 对三个正弦信号x1(t)=cos2?t、x2(t)=cos6?t、x3(t)=cos10?t进行采样,采样频率fs=4Hz,求三个采样输出序列,比较这三个结果,画出x1(t)、x2(t)、x3(t)的波形及采样点位置,并解释频率混叠现象。 解:采样序列x(n)
采样输出序列为:1,0,-1,0,1,0,-1,0,?? 采样输出序列为:1,0,-1,0,1,0,-1,0,?? 采样输出序列为:1,0,-1,0,1,0,-1,0,??
x1(t) t x2(t) t x3(t) t
从计算结果和波形图上的采样点可以看出,虽然三个信号频率不同,但采样后输出的三个脉冲序列
却是相同的,这三个脉冲序列反映不出三个信号的频率区别,造成了频率混叠。原因就是对x2(t)、x3(t)来说,采样频率不满足采样定理。