内容发布更新时间 : 2024/11/20 14:23:33星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何
求曲线（或直线）的方程
一、基础知识：
1、求曲线（或直线）方程的思考方向大体有两种，一个方向是题目中含几何意义的条件较多（例如斜率，焦距，半轴长，半径等），那么可以考虑利用几何意义求出曲线方程中的要素的值，从而按定义确定方程；另一个方向是若题目中没有明显的几何条件，主要依靠代数运算，那么就考虑先用待定系数法设出方程（未知的部分用字母代替），从而该方程便可参与题目中的运算，再利用题目条件求出参数的值，即可确定方程。可以说两个方向各有侧重，一个倾向于几何意义，另一个倾向于代数运算，下面将对两个方向涉及到的知识进行详细梳理
2、所学方程中字母的几何意义
（1）直线：k：斜率；?x0,y0?：直线所过的定点 （2）圆：?a,b?:圆心的坐标； r:圆的半径
（3）椭圆：2a：长轴长，焦半径的和；2b: 短轴长；2c：焦距 （4）双曲线：2a：实轴长，焦半径差的绝对值；2b: 虚轴长；2c：焦距
注：在椭圆和双曲线中，很多几何性质也围绕着a,b,c展开，通过这些条件也可以求出a,b,c的值，从而确定曲线方程。例如（椭圆与双曲线共有的）：
2b2c离心率：e?；通径（焦点弦长的最小值）：等
aa（5）抛物线：p: 焦准距 3、待定系数法中方程的形式： （1）直线与曲线方程通式： ① 直线：y?kx?m，x?my?t ② 圆：x?y?Dx?Ey?F?0 ③ 椭圆：
22x2y2y2x2标准方程：2?2?1?a?b?0?（或2?2?1?a?b?0?，视焦点所在轴来决定）
abab椭圆方程通式：mx?ny?1?m?0,n?0?
22第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何
④ 双曲线：
x2y2y2x2标准方程：2?2?1?a?0,b?0?（或2?2?1?a?0,b?0?，视焦点所在轴决定）
abab双曲线方程通式：mx2?ny2?1?mn?0? ⑤ 抛物线：
标准方程：y2?2px?p?0?等 抛物线方程通式：y?mx，x?my
（2）曲线系方程：具有一类特征的曲线的集合，通常曲线方程中含有参数。曲线系方程的一大好处在于若根据题目条件设出合适的曲线系方程，则将问题转化为利用条件求解参数，让解题目标更为明确，曲线系方程也是待定系数法求方程的一种方法。常见的曲线系方程如下：
① 过相交直线?22?l1:A1x?B1y?C1?0的交点的直线系方程为：
?l2:A2x?B2y?C2?0l1??l2?0即A1x?B1y?C1???A2x?B2y?C2??0（其中?为参数）
② 与直线Ax?By?C?0平行的直线系方程为：Ax?By???0（其中?为参数） ③ 与直线Ax?By?C?0垂直的直线系方程为：Bx?Ay???0（其中?为参数）
22??C1:x?y?D1x?E1y?F1?0④ 过相交两圆?交点的圆系方程为： 22??C2:x?y?D2x?E2y?F2?0C1??C2?0????1?即x2?y2?D1x?E1y?F1???x2?y2?D2x?E2y?F2??0
22⑤ 若直线l:Ax?By?C?0与圆C1:x?y?Dx?Ey?F?0有公共点，则过公共点
的圆系方程为：
C??l?0即x2?y2?Dx?Ey?F???Ax?By?C??0
x2y2⑥ 相同渐进线的双曲线系方程：与双曲线2?2?1渐近线相同的双曲线系方程为：
abx2y2?2?????0? 2ab第九章 求曲线（或直线）方程 解析几何
二、典型例题：
x2y2例1：已知椭圆C:2?2?1?a?b?0?的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过
ab原点的直线l与椭圆相交于M,N两点，记直线PM,PN的斜率分别为k1,k2，且k1k2??则椭圆的方程为（ ）
1，4x2y2x2y2y2x22??1 B. ??1 C. x??1 D. ?y2?1 A.
1644244思路：由已知可得a?2，所以只需利用条件k1k2??1求出b的值即可，设P?x0,y0?，4y1?y0y?y1,k2?x1?x0x1?x0，
0M?x1,y1?，则
N??x1,?y1?。则
k1?从而
2y1?y0y1?y0y12?y01，由分子分母平方差的特点及M,P在椭圆上联想k1k2???2??2x1?x0x1?x0x1?x04?x12y12??12?1212y12?y0b21?4b222到点差法，得：，所以 ?x?x?y?y?0??????210?0?2?1222bx1?x044?x0?y0?14??4b2x2?y2?1 即b?1，所以椭圆方程为42答案：D
x2y2例2：椭圆C:2?2?1?a?b?0?的右焦点为F，右顶点，上顶点分别为A,B，且
abAB?5BF 2（1）求椭圆C的离心率
（2）若斜率为2的直线l过点?0,2?，且l交椭圆C于P,Q两点，OP?OQ，求直线l的方程及椭圆C的方程
解：（1）由椭圆方程可得：A?a,0?,B?0.b?,F?c,0?
?AB?a2?b2,BF?b2?c2?a