内容发布更新时间 : 2025/1/7 5:28:12星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第五次作业（前三题写在作业纸上）

一、用有限差分方法求解一维非定常热传导方程，初始条件和边界条件见说明.pdf文件，热扩散系数α=const，

?T?2T??2 ?t?x1. 用Tylaor展开法推导出FTCS格式的差分方程

2. 讨论该方程的相容性和稳定性，并说明稳定性要求对求解差分方程的影响。 3. 说明该方程的类型和定解条件，如何在程序中实现这些定解条件。

4. 编写M文件求解上述方程，并用适当的文字对程序做出说明。（部分由网络搜索得

到，添加，修改后得到。） function rechuandaopde

%以下所用数据，除了t的范围我根据题目要求取到了20000，其余均从pdf中得来 a=0.00001;%a的取值 xspan=[0 1];%x的取值范围 tspan=[0 20000];%t的取值范围

ngrid=[100 10];%分割的份数，前面的是t轴的，后面的是x轴的 f=@(x)0;%初值

g1=@(t)100;%边界条件一 g2=@(t)100;%边界条件二

[T,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid);%计算所调用的函数 [x,t]=meshgrid(x,t);

mesh(x,t,T);%画图，并且把坐标轴名称改为x，t，T xlabel('x') ylabel('t') zlabel('T') T%输出温度矩阵

dt=tspan(2)/ngrid(1);%t步长 h3000=3000/dt;

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h9000=9000/dt;

h15000=15000/dt;000,9000,15000下，温度分别在T矩阵的哪些行 T3000=T(h3000,:) T9000=T(h9000,:)

T15000=T(h15000,:)%输出三个时间下的温度分布

%不再对三个时间下的温度-长度曲线画图，其图像就是三维图的截面

%稳定性讨论,傅里叶级数法 dx=xspan(2)/ngrid(2);%x步长 sta=4*a*dt/(dx^2)*(sin(pi/2))^2; if sta>0,sta<2

fprintf('\\n%s\\n','有稳定性') else

fprintf('\\n%s\\n','没有稳定性') error end

%真实值计算

[xe,te,Te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid); [xe,te]=meshgrid(xe,te);

mesh(xe,te,Te);%画图，并且把坐标轴名称改为xe，te，Te xlabel('xe') ylabel('te') zlabel('Te') Te%输出温度矩阵

%误差计算

jmax=1/dx+1;%网格点数 [rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax) rms%输出误差

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function [rms]=wuchajisuan(T,Te,jmax) for j=1:jmax

rms=((T(j)-Te(j))^2/jmax)^(1/2) end

function[Ue,xe,te]=truesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid) n=ngrid(1);%t份数 m=ngrid(2);%x份数 Ue=zeros(ngrid);

xe=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格 te=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格 for j=2:n for i=2:m-1 for g=1:m-1

Ue(j,i)=100-(400/(2*g-1)/pi)*sin((2*g-1)*pi*xe(j))*exp(-a*(2*g-1)^2*pi^2*te(i)) end end end

function [U,x,t]=pdesolution(a,f,g1,g2,xspan,tspan,ngrid) n=ngrid(1);%t份数 m=ngrid(2);%x份数

h=range(xspan)/(m-1);%x网格长度 x=linspace(xspan(1),xspan(2),m);%画网格 k=range(tspan)/(n-1); %t网格长度 t=linspace(tspan(1),tspan(2),n);%画网格 U=zeros(ngrid); U(:,1)=g1(t);%边界条件 U(:,m)=g2(t);