内容发布更新时间 : 2024/12/24 22:13:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
指数函数与对数函数的关系
顾湜
一、教材分析: 1.地位与作用:
本课取自普通高中课程标准实验教科书数学1(必修?人民教育出版社B版)第三章第二节第三小节。
指数函数与对数函数的关系,是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的。本教材淡化了求反函数的方法,强化了由指数函数与对数函数的关系理解和解释反函数概念的过程。本节属于独立的一节,但在对指数函数与对数函数性质的比较上,在对函数概念的进一步理解上都具有举足轻重的地位。
2.教学重难点:
(1)教学重点:对指数函数和对数函数性质关系的比较及对反函数概念的理解。
(2)教学难点:反函数的概念。 3.教学目标
(1)知识与技能
正确比较指数函数和对数函数性质关系,能以它们为例对反函数进行解释和直观理解;明确指数函数与对数函数互为反函数;理解反函数的概念,掌握互为反函数图像之间的关系。
(2)过程与方法
从观察图像到引出概念,培养学生观察、分析、探究问题的能力、数形结合思想的运用能力,提高由特殊到一般的归纳概括能力。
(3)情感态度与价值观
引导学生发现指数函数与对数函数的对立统一关系,并欣赏数形和谐的对称美。
4.学情分析
学生已经掌握了指数函数和对数函数的图像以及性质,这为学习指数函数与对数函数的关系打下了良好的基础。因此,学习过程中,根据指数函数与对数函数的图像,尝试放手让学生自己进行合作探究学习。
5.教学方法与手段 (1)教学方法
层层设问,启发思维,激发兴趣。采用以观察图形、发现问题、探究原因、归纳总结、巩固提高为线索的探究式教学方法。
(2)教学手段
采用多媒体辅助教学,突显数形结合思想。 二、教学设计 (一)课前准备
为学生展示雪花、彩虹、筷子、天安门的图片。
教师总结:无论是秀美的自然景观还是令人叹为观止的人文景观,都是生活中赋予人类的奇迹。
【设计意图】联系实际,激发学生的兴趣 (二)发现对称
1.要求学生发现上述图片的对称关系,进而引出数学中也存在很多对称关系,并要求学生说出数学中熟悉的对称关系。例如:二次函数关于对称轴成轴对称、偶函数关于y轴成轴对称、奇函数关于原点成中心对称。
【设计意图】培养学生的观察、归纳的能力,引导学生以发现、欣赏数学美的角度学习数学,提高学习兴趣。
12. 判断函数y?2x与y?()x、函数y?log2x与y?log1x的对称关系。
221学生回答y?2x与y?()x图像关于y轴对称,y?log2x与y?log1x图像关
22于x轴对称。
教师用几何画板为学生展示以上两对函数的图像。
【设计意图】既对所学知识做出总结,又自然引出新课题。
3. 作函数y?2x与y?log2x的图像,发现他们的对称关系。
要求学生在坐标纸上作出两个函数的图像,并利用投影仪投影学生作品,展示作品后给予学生鼓励。
学生发现这两个函数的图像关于直线y?x对称。
教师利用几何画板演示两个函数的准确图像,看出他们的对称关系。
【设计意图】亲自动手,体验成功的喜悦。引导学生反复观察,自觉运用数形结合思想,使学生逐一观察,细致对比,数形结合,发现对称。
1提问:函数y?2x与y?log2x关于直线y?x对称,那么函数y?与
2xy?log1x是否也具有这样的对称关系呢?函数y?ax与y?logax是否也具有
2呢?
1教师利用几何画板演示函数y?与y?log1x的图像,发现他们确实关于
22直线y?x对称,当a变化时,两个函数图像也关于直线y?x对称。
【设计意图】由特殊到一般,归纳结论。
(三)解释对称
引题:数学是严谨的,仅靠观察是不够的,得用严谨的数学语言证明。 1.明确关于直线y?x对称的点坐标具有什么关系。
教师通过几何画板演示使学生观察出关于y?x对称的点横纵坐标相反。 【设计意图】启发学生深入探究。
2.分析函数y?ax与y?logax的内在联系,并解释对称原因。
x教师要求学生自由讨论
【设计意图】由形的发现转入数的分析,是数形结合思想的重要体现,运用已有只是解释新问题,提高思维的深度。
教师总结:
x,y指对互化x,y位置互换y?ax??????x?logay??????y?logax
要求学生思考:两步交换顺序是否可以,即
x,y位置互换x,y指对互化y?ax??????x?ay??????y?logax
强调:先互化后互换与先互换后互化都可以解释对称,但本质原因是x,y互换。
结论:指数函数与对数函数的图像关于直线y?x对称。此时,指数函数叫做对数函数的反函数,对数函数也叫做指数函数的反函数。
【设计意图】由知其然到知其所以然,使学生体会思维的快乐。 (四)明确定义
1.引题:指数函数与对数函数之间的这种关系并不是他们所特有的,有大量的函数之间具有这样的关系,我们称他们互为反函数。
【设计意图】由特殊到一般,培养归纳概括能力。
2.反函数的定义:当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新的函数的因变量。我们称这两个函数互为反函数。
函数f(x)的反函数通常用f?1(x)表示。
说明:(1)前提:一一映射
要求学生思考为什么一定是一一映射,并举出一些不是一一映射,既没有反函数的函数。如 y?x2
(2)本质:x,y互换 (3)记法:f?1(x)
(4)注意:f(x)与f?1(x)互为反函数
【设计意图】深化定义,使学生记忆理解。 3.举例
要求学生举出一些有反函数的函数,如:一次函数,反比例函数。 提问:函数y?5x是否有反函数?如果有,反函数是什么?
要求学生独立思考,并完成该提问。
板书、几何画板相结合给出答案,并在几何画板上直观观察两函数的图像,明确对称关系: