内容发布更新时间 : 2024/11/7 23:48:21星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

`uxu． ?`?arctan`?arctan22uyc?u[注意]解题时，要确定不同的参考系，通常将已知两个物体速度的系统作为S系，另外一个相对静止

的系统作为S`系，而所讨论的对象在不同的参考系中的速度是不同的．

3．11 一粒子动能等于其非相对论动能二倍时，其速度为多少？其动量是按非相对论算得的二倍时，其速度是多少？

[解答]（1）粒子的非相对论动能为Ek = m0v2/2，相对论动能为E`k = mc2 – m0c2， 其中m为运动质量

m?m01?(v/c)2．

根据题意得

m0c21?(v/c)2?m0c2?m0v2，

设x = (v/c)2，方程可简化为1?1?x，或 1?(1?x)?1x， 1?x平方得1 = (1 – x2)(1 - x)，化简得x(x2 – x -1) = 0．由于x不等于0，所以：x2 – x -1 = 0． 解得

x?1?5， 2取正根得速率为

v?c1?5= 0.786c． 2m0v1?(v/c)2（2）粒子的非相对论动量为：p = m0v，相对论动量为：p`?mv?根据题意得方程：，

m0v1?(v/c)2?2m0v．

很容易解得速率为：v?3c= 0.866c． 2

3．12．某快速运动的粒子，其动能为4.8×10-16J，该粒子静止时的总能量为1.6×10-17J，若该粒子的固有寿命为2.6×10-6s，求其能通过的距离．

[解答]在相对论能量关系E = E0 + Ek中，静止能量E0已知，且E0 = m0c2，总能量为

E?mc?所以2m0c21?(v/c)2?E01?(v/c)2，

11?(v/c)2?E0?Ek， E0由此得粒子的运动时为?t?还可得1?(v/c)2?解得速率为

E?Ek． ??t`02E01?(v/c)?t`E0，

E0?Ekv?c1?(E02)．

E0?EkE0?Ek2)?1?3?108?2.6?10?6(1?30)2?1= 24167.4(m)． E0粒子能够通过的距离为?l?v?t?c?t`(

2E0v3．13 试证相对论能量和速度满足如此关系式：?1?2．

cE[证明]根据上题的过程已得

v?c1?(E02)，将E = E0 + Ek代入公式立可得证．

E0?Ek

3．14 静止质子和中子的质量分别为mp = 1.67285×10-27kg，mn = 1.67495×10-27kg，质子和中子结合变成氘核，其静止质量为m0 = 3.34365×10-27kg，求结合过程中所释放出的能量．

[解答]在结合过程中，质量亏损为 Δm = mp + mn - m0 = 3.94988×10-30(kg)， 取c = 3×108(m·s-1)，可得释放出的能量为

ΔE = Δmc2 = 3.554893×10-13(J)． 如果取c = 2.997925×108(m·s-1)，可得释放出的能量为 ΔE = 3.549977×10-13(J)．

第四章 机械振动

4．1 一物体沿x轴做简谐振动，振幅A = 0.12m，周期T = 2s．当t = 0时，物体的位移x = 0.06m，且向x轴正向运动．求：

（1）此简谐振动的表达式；

（2）t = T/4时物体的位置、速度和加速度；

（3）物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．

[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x = Acos(ωt + θ)，其中A = 0.12m，角频率ω = 2π/T = π． 当t = 0时，x = 0.06m，所以cosθ = 0.5，因此θ = ±π/3． 物体的速度为v = dx/dt = -ωAsin(ωt + θ)．

当t = 0时，v = -ωAsinθ，由于v > 0，所以sinθ < 0，因此：θ = -π/3．

简谐振动的表达式为：x = 0.12cos(πt – π/3)．

（2）当t = T/4时物体的位置为;x = 0.12cos(π/2 – π/3) = 0.12cosπ/6 = 0.104(m)． 速度为；v = -πAsin(π/2 – π/3) = -0.12πsinπ/6 = -0.188(m·s-1)．

加速度为：a = dv/dt = -ω2Acos(ωt + θ)= -π2Acos(πt - π/3)= -0.12π2cosπ/6 = -1.03(m·s-2)． （3）方法一：求时间差．当x = -0.06m时，可得cos(πt1 - π/3) = -0.5， 因此πt1 - π/3 = ±2π/3．

由于物体向x轴负方向运动，即v < 0，所以sin(πt1 - π/3) > 0，因此πt1 - π/3 = 2π/3，得t1 = 1s．

当物体从x = -0.06m处第一次回到平衡位置时，x = 0，v > 0，因此cos(πt2 - π/3) = 0， 可得 πt2 - π/3 = -π/2或3π/2等．由于t2 > 0，所以πt2 - π/3 = 3π/2， 可得 t2 = 11/6 = 1.83(s)．

所需要的时间为：Δt = t2 - t1 = 0.83(s)．

方法二：反向运动．物体从x = -0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x = 0.06m，即从起点向x轴正方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x = 0，v < 0，因此cos(πt - π/3) = 0，可得 πt - π/3 = π/2，解得 t = 5/6 = 0.83(s)．

[注意]根据振动方程x = Acos(ωt + θ)，当t = 0时，可得θ = ±arccos(x0/A)，（-π< θ <= π）， 初位相的取值由速度决定．

由于v = dx/dt = -ωAsin(ωt + θ)，当t = 0时，v = -ωAsinθ，当v > 0时，sinθ < 0，因此 θ = -arccos(x0/A)；

当v < 0时，sinθ > 0，因此θ = arccos(x0/A)π/3．

可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0 = A时，θ = 0；当初位置x0 = -A时，θ = π．

4．2 已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：

（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T； （2）振动表达式； x （3）画出旋转矢量图． A a [解答]方法一：由位相求时间．

b A/2（1）设曲线方程为x = AcosΦ，

c 其中A表示振幅，Φ = ωt + θ表示相位． O t 由于xa = A，所以cosΦa = 1，因此 Φa = 0． d 由于xb = A/2，所以cosΦb = 0.5，因此 Φb = ±π/3；

e 由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，因此

图4.2 Φb = π/3．

由于xc = 0，所以cosΦc = 0，

又由于c点位相大于b位相，因此Φc = π/2．

同理可得其他两点位相为：Φd = 2π/3，Φe = π． c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta = T/6． 到达b点的时刻为tb = 2ta = T/3．

到达c点的时刻为tc = ta + T/4 = 5T/12． 到达d点的时刻为td = tc + T/12 = T/2． 到达e点的时刻为te = ta + T/2 = 2T/3．

（2）设振动表达式为：x = Acos(ωt + θ)，

当t = 0时，x = A/2时，所以cosθ = 0.5，因此θ = ±π/3； 由于零时刻的位相小于a点的位相，所以θ = -π/3， 因此振动表达式为

x?Acos(2?t??)． T3另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．

（3）如图旋转矢量图所示．

方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴 c d b 相交于f点，由于xf = 0，根据运动方程，可得

cos(2?t??)?0 T3e O A θ a x 所以：2?tfT??3???2．

x A a 显然f点的速度大于零，所以取负值，解得

tf = -T/12．

从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a+ tf = T/6，

A/2f O b c d t 点的时刻为：ta = T/4

t?其位相为：?a?2?a??0．

T3 e 由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点的位相．

4．3 有一弹簧，当其下端挂一质量为M的物体时，伸长量为9.8×10-2m．若使物体上下振动，且规

定向下为正方向．

（1）t = 0时，物体在平衡位置上方8.0×10-2m处，由静止开始向下运动，求运动方程； （2）t = 0时，物体在平衡位置并以0.60m·s-1速度向上运动，求运动方程． [解答]当物体平衡时，有：Mg – kx0 = 0， 所以弹簧的倔强系数为：k = Mg/x0， 物体振动的圆频率为：??s-1)． k/M?g/x0= 10(rad·2x0?(v0/?)2?|x0|= 8.0×10-2(m)；

设物体的运动方程为：x = Acos(ωt + θ)．

（1）当t = 0时，x0 = -8.0×10-2m，v0 = 0，因此振幅为：A?由于初位移为x0 = -A，所以cosθ = -1，初位相为：θ = π．

运动方程为：x = 8.0×10-2cos(10t + π)．

（2）当t = 0时，x0 = 0，v0 = -0.60(m·s-1)，因此振幅为：A?2x0?(v0/?)2= |v0/ω| = 6.0×10-2(m)；

由于cosθ = 0，所以θ = π/2；运动方程为：x = 6.0×10-2cos(10t + π/2)．

4．4 质量为10×10-3kg的小球与轻弹簧组成的系统，按x?0.1cos(8?t?2?)的规律作振动，式中3t以秒(s)计，x以米(m)计．求：

（1）振动的圆频率、周期、振幅、初位相； （2）振动的速度、加速度的最大值；

（3）最大回复力、振动能量、平均动能和平均势能；

（4）画出这振动的旋转矢量图，并在图上指明t为1，2，10s等各时刻的矢量位置． [解答]（1）比较简谐振动的标准方程：x = Acos(ωt + θ)，

可知圆频率为：ω =8π，周期T = 2π/ω = 1/4 = 0.25(s)，振幅A = 0.1(m)，初位相θ = 2π/3．

（2）速度的最大值为：vm = ωA = 0.8π = 2.51(m?s-1)； t=1,2,10s 22-2

加速度的最大值为：am = ωA = 6.4π = 63.2(m·s)． 22A （3）弹簧的倔强系数为：k = mω，最大回复力为:f = kA = mωA = 0.632(N)； 振动能量为:E = kA2/2 = mω2A2/2 = 3.16×10-2(J)，

O 平均动能和平均势能为:Ek?Ep= kA2/4 = mω2A2/4 = 1.58×10-2(J)． （4）如图所示，当t为1，2，10s等时刻时，旋转矢量的位置是相同的．

4．5 两个质点平行于同一直线并排作同频率、同振幅的简谐振动．在振动过程中，每当它们经过振幅一半的地方时相遇，而运动方向相反．求它们的位相差，并作旋转矢量图表示．

[解答]设它们的振动方程为:x = Acos(ωt + θ)， 当x = A/2时，可得位相为:ωt + θ = ±π/3．

A 由于它们在相遇时反相，可取

Φ1 = (ωt + θ)1 = -π/3，

x O Φ2 = (ωt + θ)2 = π/3，

它们的相差为:ΔΦ = Φ2 – Φ1 = 2π/3，

或者:ΔΦ` = 2π –ΔΦ = 4π/3．矢量图如图所示．

4．6 一氢原子在分子中的振动可视为简谐振动．已知氢原子质量m = 1.68×10-27kg，振动频率v = 1.0×1014Hz，振幅A = 1.0×10-11m．试计算：

（1）此氢原子的最大速度； （2）与此振动相联系的能量．

[解答]（1）氢原子的圆频率为:ω = 2πv = 6.28×1014(rad·s-1)， 最大速度为:vm = ωA = 6.28×103(m·s-1)．

（2）氢原子的能量为:E?

x 12mvm= 3.32×10-20(J)． 2