内容发布更新时间 : 2024/5/6 1:07:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

10.三角形、梯形的中位线

知识考点：

掌握三角形、梯形的中位线定理，并会用它们进行有关的论证和计算。

精典例题：

【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，M是腰AB的中点，且AD＋BC＝DC。求证：MD⊥MC。

分析：遇到腰上中点的问题构造梯形中位线可证明，也可以因为腰上有中点，延长DM与CB的延长线交于E点进行证明。

ADACDMNQPEGFBCBDMC例1图 AB

例2图 问题图

【例2】如图，△ABC的三边长分别为AB＝14，BC＝16，AC＝26，P为∠A的平分线AD上一点，且BP⊥AD，M为BC的中点，求PM的长。

分析：∠A的平分线与BP边上的垂线互相重合，通过作辅助线延长BP交AC于点Q，由△ABP≌△AQP知AB＝AQ＝14，又知M是BC的中点，所以PM是△BQC的中位线，于是本题得以解决。

答案：PM＝6 探索与创新：

【问题一】 E、F为凸四边形ABCD的一组对边AD、BC的中点，若EF＝

1(AB?CD)，2问：ABCD为什么四边形？请说明理由。

分析与结论：如图，利用三角形和梯形的中位线定理，连结AC，取AC的中点G，连EG、FG，则EG∥

111CD，FG∥AB，∴EG＋FG＝(AB?CD)，即EG＋FG＝EF，则222G点在EF上，EF∥CD，EF∥AB，故AB∥CD。

（1）若AD∥BC，则凸四边形ABCD为平行四边形； （2）若AD不平行于BC，则凸四边形ABCD为梯形。

评注：利用中位线构造出

11CD、AB，其关键是连AC，并取其中点G。 22跟踪训练：

一、填空题：

1、三角形各边长为5、9、12，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 。

2、一个等腰梯形的周长为100cm，如果它的中位线与腰长相等，它的高为20cm，那么这个梯形的面积是 。

3、若梯形中位线被它的两条对角线分成三等分，则梯形的两底之比为 。

4、直角梯形的中位线长为a，一腰长为b，且此腰与底所成的角为600，则这个梯形的面积为 。

5、如图，梯形ABCD中，AD∥BC，EF是梯形的中位线，G是BC上任意一点，如果

S?GEF?22cm2，那么梯形ABCD的面积是 。

ADANDFAGEQPBDCEFEFMCBGCB

第5题图

第6题图

第7题图

6、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝300，∠C＝600，E、F、M、N分别为AB、

CD、BC、DA的中点，已知BC＝7，MN＝3，则EF＝ 。

7、如图，D、E、F分别为△ABC三边上的中点，G为AE的中点，BE与DF、DG分别交于P、Q两点，则PQ∶BE＝ 。

AD8、如图，直角梯形ABCD的中位线EF＝a，垂直于底的腰AB＝b，则图中阴影部分的面积是 。

9、在梯形ABCD中，AD∥BC，BD是对角线，EF为中位线，若S?ABD∶

EFS?BDC＝1∶2，则S梯形AEFD∶S?EBCF＝ 。

BC填空第8题图 二、选择题：

1、等腰梯形的两条对角线互相垂直，中位线长为8cm，则它的高为（ ）

A、4 cm B、42cm C、8cm D、82cm 2、已知等腰梯形ABCD中，BC∥AD，它的中位线长为28cm，周长为104cm，AD比AB少6cm，则AD∶AB∶BC＝（ ）

A、8∶12∶5 B、2∶3∶5 C、8∶12∶20 D、9∶12∶19

3、如图，已知△ABC的周长为1，连结△ABC三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2004个三角形的周长为（ ） A、

1111 B、 C、2003 D、2004 2003200422AAHDGAMNOCDETBCBFBC

选择第3题图

选择第4题图

解答第1题图

4、如图，E、F、G、H分别是BD、BC、AC、AD的中点，又AB＝DC，下列结论：①EFGH为矩形；②FH平分EG于T；③EG⊥FH；④HF平分∠EHG。其中正确的是（ ）

A、①和② B、②和③ C、①②④ D、②③④ 三、解答题：

1、如图，在矩形ABCD中，BC＝8cm，AC与BD交于O，M、N分别为OA、OD的中点。

（1）求证：四边形BCNM是等腰梯形； （2）求这个等腰梯形的中位线长。

2、如图，在四边形ABCD中，AB＞CD，E、F分别是对角线BD、AC的中点。 求证：EF＞

1(AB?CD) 2ADEFBC解答第2题图

3、如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝600，AC平分∠DAB，E、F是对角线AC、BD的中点，且EF＝a，求梯形ABCD的面积。

DCEAFB解答第3题图