内容发布更新时间 : 2024/5/31 2:25:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

大题规范练(三)

(满分70分，押题冲刺，70分钟拿下主观题高分)

解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

1．(本小题满分12分)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且cos

2

B－C2

－sin

B·sin C＝

2－2

. 4

(1)求角A；

(2)若a＝4，求△ABC面积的最大值． 解：(1)由cos

2

B－C2－2

－sin B·sin C＝， 24

2

， 4

得

B－C2

－sin B·sin C＝－2， 2

∴cos(B＋C)＝－∴cos A＝2π(0＜A＜π)，∴A＝. 24

2

2

2

2

2

(2)由余弦定理a＝b＋c－2bccos A，得16＝b＋c－2bc≥(2－2)bc，当且仅当b＝c时取等号，即bc≤8(2＋2)．

12

∴S△ABC＝bcsin A＝bc≤4(2＋1)，

24即△ABC面积的最大值为4(2＋1)．

2．(本小题满分12分)如图，在五面体ABCDEF中，AB∥CD∥EF，CD＝EF＝CF＝2AB＝2AD＝2，∠DCF＝60°，AD⊥CD，平面CDEF⊥平面ABCD.

(1)求异面直线BE与CF所成角的余弦值； (2)证明：直线CE⊥平面ADF；

(3)已知P为棱BC上的点，且二面角P-DF-A为60°，求PE的长． 解：(1)∵CD∥EF，CD＝EF＝CF＝2，∴四边形CDEF为菱形．

∵∠DCF＝60°，∴△DEF为正三角形．取EF的中点G，连接GD，则GD⊥EF，∴GD⊥CD. ∵平面CDEF⊥平面ABCD，GD?平面CDEF，CD＝平面CDEF∩平面ABCD，∴GD⊥平面ABCD，∴GD⊥AD，GD⊥CD.

∵AD⊥CD，∴DA，DC，DG两两垂直．

如图，以D为原点，DA，DC，DG所在直线为x轴，y轴，z轴正方向，建立空间直角坐标系．

∵CD＝EF＝CF＝2，AB＝AD＝1，∴A(1,0,0)，B(1,1,0)，C(0,2,0)，E(0，－1，3)，F(0,1，→→

3)，∴BE＝(－1，－2，3)，CF＝(0，－1，3)． 设异面直线BE与CF所成的角为α，

→→

→→|BE·CF|552

则cos α＝|cos〈BE，CF〉|＝＝＝. →→88×4|BE||CF|

→→→→→→→

(2)证明：∵DA＝(1,0,0)，DF＝(0,1，3)，CE＝(0，－3，3)，∴CE·DA＝0，CE·DF＝0，∴CE⊥DA，CE⊥DF.

∵DA，DF是平面ADF内的两条相交直线，∴直线CE⊥平面ADF.

(3)依题意可设P(a,2－a,0)(0≤a≤1)，平面PDF的法向量为n＝(x，y，z)． →→?y＋3z＝0，∵n·DF＝0，n·DP＝0，∴?

?ax＋－ay＝0.∴n＝(3(a－2)，3a，－a)．

→

∵二面角P-DF-A为60°，CE＝(0，－33)是平面ADF的一个法向量， →

→|n·CE|

∴|cos〈n，CE〉|＝＝

→12×|n||CE|2?24?解得a＝，∴P?，，0?， 3?33?∴PE＝

43a1

＝. 222

2＋3a＋a

令y＝3a，则x＝3(a－2)，z＝－a，

a－

?2－0?2＋?4＋1?2＋

?3??3?????

－3

2

45

＝.

3

3．(本小题满分12分)私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一，因此在生活中我们应该提倡低碳生活，少开私家车，尽量选择绿色出行方式，为预防雾霾出一份力．为此，很多城市实施了机动车尾号限行，我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查结果进行整理后制成下表：

年龄/岁 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75) 频数 赞成人数 5 4 10 6 15 9 10 6 5 3 5 4 (1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查，求恰有2人不赞成的概率；

(2)在(1)的条件下，令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和数学期望．

解：(1)由表知，年龄在[15,25)内的有5人，不赞成的有1人，年龄在[25,35)内的有10人，不赞成的有4人，恰有2人不赞成的概率为

C4C4·C6C4C44246622P＝2·2＋2·2＝×＋×＝. C5C10C5C101045104575(2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. C4C66151P(ξ＝0)＝2·2＝×＝，

C5C1010455

C4C6C4C4·C641562434

P(ξ＝1)＝2·2＋2·2＝×＋×＝，

C5C10C5C101045102575

1

2

2

1

1

2

2

1

1

1

2

2

P(ξ＝2)＝，

C4C4464

P(ξ＝3)＝2·2＝×＝，

C5C10104575∴ξ的分布列是

ξ 0 1 51 34 752 22 753 4 751

2

2275

P 1342246∴ξ的数学期望E(ξ)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.

57575755

x2y2

4．(本小题满分12分)已知椭圆E：2＋2＝1(a＞b＞0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角

ab三角形的三个顶点，直线l：y＝－x＋3与椭圆E有且只有一个公共点T.

(1)求椭圆E的方程及点T的坐标；

(2)设O为坐标原点，直线l′平行于OT，与椭圆E交于不同的两点A，B，且与直线l交于点P.证明：存在常数λ，使得|PT|＝λ|PA|·|PB|，并求λ的值．

2

x2y2

解：(1)由已知，a＝2b，则椭圆E的方程为2＋2＝1.

2bbxy??2＋2＝1，

由方程组?2bb??y＝－x＋3，

2

2

得3x－12x＋18－2b＝0.

22