内容发布更新时间 : 2024/5/11 16:42:47星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

习

1.1选择题

题1

(1) 一运动质点在某瞬时位于矢径r(x,y)的端点处，其速度大小为

??drdr(A) (B)

dtdt?dx2dy2d|r|(C) (D) ()?()

dtdtdt[答案：D]

(2) 一质点作直线运动，某时刻的瞬时速度v?2m/s，瞬时加速度a??2m/s，则一秒钟后质点的速度

(A)等于零 (B)等于-2m/s (C)等于2m/s (D)不能确定。

[答案：D]

(3) 一质点沿半径为R的圆周作匀速率运动，每t秒转一圈，在2t时间间隔中，其平均速度大小和平均速率大小分别为

22?R2?R2?R (B) 0, ,ttt2?R(C) 0,0 (D) ,0

t(A)

[答案：B]

1.2填空题

(1) 一质点，以?m?s?1的匀速率作半径为5m的圆周运动，则该质点在5s内，位移的大小

是 ；经过的路程是 。

[答案： 10m； 5πm]

(2) 一质点沿x方向运动，其加速度随时间的变化关系为a=3+2t (SI)，如果初始时刻质点的速度v0为5m·s-1，则当t为3s时，质点的速度v= 。

[答案： 23m·s-1 ]

???(3) 轮船在水上以相对于水的速度V1航行，水流速度为V2，一人相对于甲板以速度V3行走。如人相对于岸静???止，则V1、V2和V3的关系是 。

???[答案： V1?V2?V3?0]

1.3 一个物体能否被看作质点，你认为主要由以下三个因素中哪个因素决定：

(1) 物体的大小和形状； (2) 物体的内部结构； (3) 所研究问题的性质。

解：只有当物体的尺寸远小于其运动范围时才可忽略其大小的影响，因此主要由所研究问题的性质决定。

1.4 下面几个质点运动学方程，哪个是匀变速直线运动？

（1）x=4t-3；（2）x=-4t3+3t2+6；（3）x=-2t2+8t+4；（4）x=2/t2-4/t。

给出这个匀变速直线运动在t=3s时的速度和加速度，并说明该时刻运动是加速的还是减速的。（x单位为m，t单位为s）

解：匀变速直线运动即加速度为不等于零的常数时的运动。加速度又是位移对时间的两阶导数。于是可得（3）为匀变速直线运动。

其速度和加速度表达式分别为

t=3s时的速度和加速度分别为v=20m/s，a=4m/s2。因加速度为正所以是加速的。

1.5 在以下几种运动中，质点的切向加速度、法向加速度以及加速度哪些为零哪些不为零？

(1) 匀速直线运动；(2) 匀速曲线运动；(3) 变速直线运动；(4) 变速曲线运动。

解：(1) 质点作匀速直线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均为零； (2) 质点作匀速曲线运动时，其切向加速度为零，法向加速度和加速度均不为零； (3) 质点作变速直线运动时，其法向加速度为零，切向加速度和加速度均不为零；

(4) 质点作变速曲线运动时，其切向加速度、法向加速度及加速度均不为零。 1.6 ｜?r｜与?r 有无不同?

drdrdvdv和有无不同? 和有无不同?其不同在哪里?试举例说明． dtdtdtdt解：（1）

???r是位移的模，?r是位矢的模的增量，即?r?r2?r1，?r?r2?r1；

（2）

drdrds是速度的模，即. ?v?dtdtdtdr只是速度在径向上的分量. dt∵有r式中

?（式中r?叫做单位矢），则?rr?drdrdr??r ?rdtdtdtdr就是速度在径向上的分量， dt∴

drdr与不同如题1.6图所示. dtdt题1.6图

?dv?dvdv (3)表示加速度的模，即a?，是加速度a在切向上的分量.

dtdtdt∵有v?v?(?表轨道节线方向单位矢），所以 式中

??dv就是加速度的切向分量. dt???d??dr与(?的运算较复杂，超出教材规定，故不予讨论) dtdt1.7 设质点的运动方程为x=x(t)，y=y(t)，在计算质点的速度和加速度时，有人先求出r＝

d2rdrx?y，然后根据v =及a＝2而求得结果；又有人先计算速度和加速度的分量，再合成求得结

dtdt22

?dx??dy? v=?????，a=

dt???dt?两者差别何在？

22?d2x??d2y???dt2?????dt2?? 你认为两种方法哪一种正确？为什么？????22???解：后一种方法正确.因为速度与加速度都是矢量，在平面直角坐标系中，有r?xi?yj，

故它们的模即为

而前一种方法的错误可能有两点，其一是概念上的错误，即误把速度、加速度定义作

drd2rdr与2误作速度与加速度的模。在1.6题中已说明不是速度的模，而只是速度在径向其二，可能是将

dtdtdt2?d2rd2r?d????r?上的分量，同样，2也不是加速度的模，它只是加速度在径向分量中的一部分?a径???。2dtdt?dt???????或者概括性地说，前一种方法只考虑了位矢r在径向（即量值）方面随时间的变化率，而没有考虑位矢r及速?度v的方向随时间的变化率对速度、加速度的贡献。

1.8 一质点在xOy平面上运动，运动方程为

x=3t+5, y=

12

t+3t-4. 2式中t以 s计，x,y以m计．(1)以时间t为变量，写出质点位置矢量的表示式；(2)求出t=1 s 时刻和t＝2s 时刻的位置矢量，计算这1秒内质点的位移；(3)计算t＝0 s时刻到t＝4s时刻内的平均速度；(4)求出质点速度矢量表示式，计算t＝4 s 时质点的速度；(5)计算t＝0s 到t＝4s 内质点的平均加速度；(6)求出质点加速度矢量的表示式，计算t＝4s 时质点的加速度(请把位置矢量、位移、平均速度、瞬时速度、平均加速度、瞬时加速度都表示成直角坐标系中的矢量式)解：（1） r(2)将t

??1??(3t?5)i?(t2?3t?4)jm

2?1,t?2代入上式即有

(3)∵ r0?5i?4j,r4?17i?16j

?????????rr4?r012i?20j???3i?5jm?s?1 ∴ v??t4?04????dr?3i?(t?3)jm?s?1 (4) v?dt????1则 v4?3i?7j m?s

(5)∵ v0?3i?3j,v4?3i?7j

?????????dv(6) a??1jm?s?2

dt这说明该点只有y方向的加速度，且为恒量。

1.9 质点沿x轴运动，其加速度和位置的关系为 a＝2+6x，a的单位为m?s＝0处，速度为10m?s,试求质点在任何坐标处的速度值．

?12?2，x的单位为 m. 质点在x解： ∵ a?dvdvdxdv??v dtdxdtdx分离变量： vdv?adx?(2?6x2)dx 两边积分得

由题知，x?0时，v0?10,∴c?50

∴ v?2x3?x?25m?s?1

1.10 已知一质点作直线运动，其加速度为 a＝4+3t m?s＝10s 时的速度和位置．

?2，开始运动时，x＝5 m，v =0，求该质点在t 解：∵ a?dv?4?3t dt分离变量，得 dv?(4?3t)dt 积分，得 v?4t?t2?c1 由题知，t?0,v0?0 ,∴c1?0

32dx3又因为 v??4t?t2

dt23分离变量， dx?(4t?t2)dt

21积分得 x?2t2?t3?c2

232故 v?4t?t2

由题知 t?0,x0?5 ,∴c2?5

故 x?2t2?t3?5 所以t?10s时

1.11 一质点沿半径为1 m 的圆周运动，运动方程为 ?=2+3t，式中?以弧度计，t以秒计，求：(1) t＝2

312s时，质点的切向和法向加速度；(2)当加速度的方向和半径成45°角时，其角位移是多少?

解： ??d?d??9t2,???18t dtdt (1)t?2s时， a??R??1?18?2?36m?s?2 (2)当加速度方向与半径成45ο角时，有

即 R?2?R? 亦即 (9t2)2?18t 则解得 t3?于是角位移为

2 9

1?bt2的规律运动，式中s为质点离圆周上某点的弧长,v0，b都是2常量，求：(1)t时刻质点的加速度；(2) t为何值时，加速度在数值上等于b．

ds解：（1） v??v0?bt

dt1.12 质点沿半径为R的圆周按s＝v0t(v0?bt)4则 a?a??a?b? 2R22n2加速度与半径的夹角为 (2)由题意应有

(v0?bt)4,?(v0?bt)4?0 即 b?b?2R22∴当t?v0时，a?b bβ=0.2 rad·s，求t＝2s时边缘上各点的速度、法向

?2

1.13 飞轮半径为0.4 m

解：当t?2s时，???t?0.2?2?0.4 rad?s?1 则v?R??0.4?0.4?0.16m?s?1

1.14 一船以速率v1＝30km·h沿直线向东行驶，另一小艇在其前方以速率v2＝40km·h

-1

-1

沿直线向北行驶，问在船上看小艇的速度为多少?在艇上看船的速度又为多少?

解：(1)大船看小艇，则有v21?v2?v1，依题意作速度矢量图如题1.14图(a)

???

题1.14图

由图可知 v2?v221?v12?50km?h?1

方向北偏西 ??arctanv1v?arctan3?36.87? 24(2)小艇看大船，则有v???12?v1?v2，依题意作出速度矢量图如题1.14图(b)，同上法，得

方向南偏东36.87o.