内容发布更新时间 : 2024/12/24 0:08:01星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第六章 Legendre多项式
6.2 基础训练
6.2.1例题分析
例1 氢原子定态问题的量子力学Schrodinger（薛定谔）方程是
????2
?2???????=???? 8???????2
2
其中?,??,??,??,
解：先令??=
??2
??都是常数。试在球坐标系下把这个方程分离变量。 ,??=????2，则Schrodinger方程可以简单写为
????2??+
8??2??
??
??+????=0 ??由laplace算符在球坐标下的表达式，则在球坐标下，Schrodinger方程的表达式为
2
1??2????1??????1????????[2(??)+2(????????)+2]+??+????=0 ????????????????????????????????????2??????2??令??(??,??,??)=??(??)??(??,??)，代入上式得
??????2??????????????????2??????
(??)+(????????)++(+??)????=0 ??2??????????2??????????????????2??????2??????2??两边分别乘以
??2??????
，得
21??2??????2??1??????1????
(??)+(+??)=?(????????)? ????????????????????????????????????????2??????2要使上式成立，则必有两边等于同一个常数，记为??(??+1)，从而
??2??????(??)+[??+????2???(??+1)]??=0 ??????????即
2????
(??)??2????????1??
+[
8??2??????2
?2(
??
+??)?
??(??+1)??2
]??=0 （1）
至于??则满足球函数方程
??????12????
(????????)+22????????????????????????????1
+??(??+1)??=0 （2）
球函数方程（2）的可以进一步分离变，令??(??,??)=??(??)??(??)代入（2），并有周期条件，
则得??满足
??′′+??2??=0 （3）
它的解是
????=??????????????+????????????????=0,1,2,?
??满足缔合勒让德方程
(1???2)????2?2??????+[??(??+1)?1???2]??=0 （4）
其中??=????????.
例2.证明：????(1)=1,????(?1)=(?1)??,??2???1(0)=0,??2??(0)=
(?1)?? 2?? !
.
22?? ??! 2??2??
????
??2
证明：利用Legendre多项式的微分表示，即Rodrigues公式及Leibniz（莱布尼兹）求导法则知道
1(???1)′???1′(???1)
[????](??)=??(??)+????????+?+????????+??(??) 取??=(???1)??,??=(??+1)??，注意到[(???1)??](??)|??=1=0,(当??
=
12????!
????(1)=[(??+1)??
1
????
2????!??????
[(???1)??(??+1)??]|??=1
12????!
??????????(???1)??]|??=1=
2????!=1
同理有
????(?1)=2????!??????[(???
1
????
??
????1)??????
(??+1)??]|??=1=2????! ?2 ????!= ?1 ??
1
当n为奇数时，????(??)是奇次多项式，有??2??+1(0)=0,(??=0,1,2?) 为求??2??(0)=0,(??=0,1,2?)，再利用二项式定理，即
??2???????
(??2?1)??= ?? ??=0??????(?1)
则
??2??(0)=22??(2??)!????2??(???1)|??=0=22??(2??)! =
=
122??(2??)!
1
??2??
2
2??
1
??2??????? 2??2????=0 ?1
??2????2??????2??
|??=0
????2???2??2????? 22??(2???1)?(2???2??+1)??2|??=0 ??????=?? ?1
2?? ! 2?? ! 2???1 !1???? ?????? ?12??!??=?1=?1=?1 2??
2?? !!22??(2??)!22??(??!)2[ 2?? !!]21
′′
例3证明：????(??)=2??+1[????+1(??)??????1(??)]。
证明：由递推公式
??????(??)???????′(??)+?????1′(??)=0
???????1(??)?????′(??)+???????1′(??)=0
有
????+1′(??)??????1′(??)=????+1′(??)?[??????′(??)???????(??)]
=????+1′(??)?[????+1′(??)?(??+1)????(??)???????(??)]=(2??+1)????(??)
12??+1
′′[????+1(??)??????1(??)]。
即 ????(??)=
例4在(?1,1)上，将下列函数按勒让德多项式展开为广义傅里叶级数。
（1）??(??)=??4（2）??(??)=|??| 解：（1）由计算可得 ??0= ?1??4??0(??)????= ?1??4????=
225
??1=0,??3=0，?,??2???1=0.
??=1,2,?
4
3??2?12
1
1
1
1
1
??2=2 ?1??4??2(??)????=2 ?1??4
3131
????=7
91491418
??4= ????4(??)????= ?? 35??4?3??2+3 ????=
2?12?1835??2??=0,
故
??4=5??0(??)+7??2(??)+35??4(??)
1
4
8
??=3,4,?
（2）令|??|= ∞??=0????????(??)，由系数公式有
????=
2??+12
?1|??|????(??)????
1
因为|??|是偶函数，故当????(??)为奇函数，即当??=2??+1,??=0,1,2,?时
????=??2??+1=0 于是
??2??=
2(2??)+1
2
′
?1|??|??2??(??)????=(4??+1) 0????2??(??)????=2?2??+1 0[????2??+1(??)?
1
1
1
1
1
4??+1
1
′
????2??????2??+1? 0??????2???1=????2??+1 ?? |1???????????2???1 ?? |1???1(??)]????= 0+ 0+002??+1
0??2???1????
= 0??2???1????? 0??2??+1????① 而 0??2??+1(??)????=②
2??+122??+2[(??+1)!]2将②中的??换为???1得到
0??2???1(??)????=2???1
(?1)???1(2??)!22??(??!)21
1
(?1)???1(2??)!22??(??!)21
1
(?1)??(2??+2)!
1
1
1
③
将②③式一并代入①式，得
??2??=2???1
1
?2??+122??+2[(??+1)!]2=
1
(?1)??(2??+2)!(?1)??+1(4??+1)(2???2)!
22??(???1)!(??+1)!
于是
|??|=2??0(??)+ ∞??=1
1
(?1)??+1(4??+1)(2???2)!
22??(???1)!(??+1)!
??2??(??)|??|<1
例6在半径为a的球面上，电势分布为??(??)，试求在球内、外区域中的电势分布． 解：(1)球内电势的定解问题为
??2??=??2???? ??2???? +??2???????????? ???????????? +??2??????2??????2=0 0
因为问题具有轴对称性，故一般解为
???(??+1)
??(??,??)= ∞ ????(????????) (2) ??=0 ??????+??????
用边界条件可决定待定系数????,?????．由u在极点有界的边界条件知，????=0；故球内问题的解为
??
??(??,??)= ∞??=0??????????(????????)（3） 由球面上的边界条件，可得
∞
1??
????
1
??
????
1
??2??
0
??|??=??=?? ??
?? ??=??=??(??)= ??????????(????????)
??
??=0
这时需将函数??(??)按????(????????)的广义Fourier级数展开．按公式应有
????=
2??+12????
0??(??)????(????????)????????????（4）
??