内容发布更新时间 : 2024/12/23 14:39:45星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
习题2-11 设X~N(3,2)，求（1）P?2?X?5?，P??4?X?10?，P?|X|?2?，
2P?X?3?；
（2）确定c，使得P?X?c??P?X?c?；（3）设d满足P?X?d??0.9，问d至多为多少？ 解：
∵ 若X～N（μ，σ2），则P (α P (2 P (－4 P (|X|>2)=1－P (|X|<2)= 1－P (－2< P<2 ) =1???2?3???2?3???????2??????2???? =1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ??3?3??2??=1－0.5=0.5 （2）决定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) 得 P (X≤C )= 12=0.5 又 P (X≤C )=φ??C?3?C?3?2???0.5,查表可得2?0 ∴ C =3 5 习题2-12 某地区18岁的女青年的血压（收缩压，以mm?Hg计）服从N(110,12).在该地区任选一18岁的女青年，测量她的血压X.（1）求P?X?105?,P?100?X?120?； （2）确定最小的x，使P?X?x??0.05. 1）P (X≤105)，P (100 解:(1)P(X?105)??(2105?110)??(?0.4167)?1??(0.4167)?1?0.6616?0.3384 12120?110100?11055P(100?X?120)??()??()??()??(?)121266 5?2?()?1?2?(0.8333)?1?2?0.7976?1?0.59526(2)P(X?x)?1?P(X?x)?1??(x?110x?110)?0.05??()?0.95.1212x?110查表得?1.645.?x?110?19.74?129.74.故最小的X?129.74.12 习题2-13 一工厂生产的电子管的寿命X（以小时计）服从参数为??160,?的正态分布，若要求P?120?X?200??0.80，允许?最大为多少？ 200?160??120?160????40?????40??0.80 ∵ P (120＜X≤200)=????????????σσ?????σ??σ?又对标准正态分布有φ(－x)=1－φ(x) 40???40???0.80 ∴ 上式变为??????1?????σ???σ???40??40??0.9 解出????便得:????σ??σ? 再查表，得 4040?1.281σ??31.25 σ1.281 习题2-14 设随机变量X的分布律为 X pk 求Y?X的分布律. 2-2 -1 0 1 3 1 51 61 51 1511 30解;∵ Y=X 2：(－2)2 P： (－1)2 (0)2 (1)2 (3)2 1 5 111 651511 30再把X 2的取值相同的合并，并按从小到大排列，就得函数Y的分布律为： 6 ∴ Y： 0 1 4 9 P： 1115 116?15 15 30 习题2-15 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布. （1）求Y?eX的概率密度； （2）求Y??2lnX的概率密度. （1）求Y=eX的分布密度 ∵ X的分布密度为：f(x)???10?x?1?0x为其他 Y=g (X) =eX是单调增函数 又 X=h (Y)=lnY，反函数存在 且 α = min[g (0), g (1)]=min(1, e)=1 ??max[g (0), g (1)]=max(1, e)= e ?∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1?1y1?y?e ??0y为其他（2）求Y=－2lnX的概率密度。 ∵ Y= g (X)=－2lnX 是单调减函数 又 X?h(Y)?e?Y2 反函数存在。 且 α = min[g (0), g (1)]=min(+∞, 0 )=0 β=max[g (0), g (1)]=max(+∞, 0 )= +∞ ?∴ Y的分布密度为：ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1??1?yy22e?12e?2??0 习题2-16 设X~N(0,1)， （1） 求Y?eX的概率密度； （2） 求Y?2X2?1的概率密度； （3） 求Y?|X|的概率密度. （1）求Y=eX的概率密度 x2∵ X的概率密度是f(x)?1?22πe,???x??? 0?y???y为其他7 Y= g (X)=eX 是单调增函数 又 X= h (Y ) = lnY 反函数存在 且 α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=0 β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度为： ?ψ(y)???f[h(y)]?|h'(y)|?1e?(lny)22?10?y??? ?2πy?0y为其他（2）求Y=2X2+1的概率密度。 在这里，Y=2X2+1在(+∞，－∞)不是单调函数，没有一般的结论可用。设Y的分布函数是FY（y）， 则 FY ( y)=P (Y≤y)=P (2X2+1≤y) =P??y?1???X?y?1??22?? ?当y<1时：FY ( y)=0 y?1当y≥1时：F?y?121?x2y(y)?P????Xy?1??2?2???2dx???y?12πe2故Y的分布密度ψ( y)是： 当y≤1时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 y?12当y>1时，ψ( y)= [F?12?xY ( y)]' =??2???y?12?edx???? 2?y?1 = 1e?42π(y?1) （3）求Y=| X |的概率密度。 ∵ Y的分布函数为 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 当y<0时，FY ( y)=0 2当y≥0时，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=?y1?x2?y2πedx ∴ Y的概率密度为： 当y≤0时：ψ( y)= [FY ( y)]' = (0)' =0 当y>0时：ψ( y)= [F ( y)]' =?Y?1x2??dx???2y2e2???y?y2π??e2 ?π8