内容发布更新时间 : 2024/12/30 0:12:00星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

3.4 基本不等式ab≤

a＋b2

(a≥0，b≥0)

3.4.1 基本不等式的证明

1．理解基本不等式的内容及证明．(重点) 2．能运用基本不等式证明简单的不等式．(重点) 3．能用基本不等式求解简单的最大(小)值问题．(难点)

[基础·初探]

教材整理1 算术平均数与几何平均数 阅读教材P96，完成下列问题．

a＋b对于正数a，b，我们把2称为a，b的算术平均数，ab称为a，b的几何平均数．

若两个正数a，b的算术平均数为2，几何平均数为2，则a＝ ，b＝ .

b?a＋＝2，2由题意可知?

?ab＝2，

【解析】

?a＋b＝4，∴?∴a＝2，b＝2. ?ab＝4，【答案】 2 2 教材整理2 基本不等式

阅读教材P97～P98，完成下列问题．

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a＋b如果a，b是正数，那么ab≤2(当且仅当a＝b时取“＝”)，我们把不a＋b等式ab≤2(a≥0，b≥0)称为基本不等式．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)对任意a，b∈R，都有a＋b≥2ab成立．( ) (2)不等式a2＋4≥4a成立的条件是a＝2.( ) 【答案】 (1)× (2)√

[小组合作型]

用基本不等式证明不等式 已知a，b，c为不全相等的正数． (1)求证：a＋b＋c>ab＋bc＋ca； a2b2c2

(2)求证：b＋c＋a≥a＋b＋c.

【精彩点拨】 (1)利用a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc求证； a2b2c222(2)利用b＋b≥2a；c＋c≥2b；a＋a≥2c2求证． 【自主解答】 (1)∵a>0，b>0，c>0， ∴a＋b≥2ab，a＋c≥2ac，b＋c≥2bc. 又a，b，c为不全相等的正数， ∴a＋b＋c≥ab＋ac＋bc. 又a，b，c互不相等， 故等号不能同时取到， 所以a＋b＋c>ab＋ac＋bc. a2b2c2

(2)∵a，b，c，b，c，a均大于0， a2

∴b＋b≥2

a2b＝2a， b·2/7

a2

当且仅当b＝b时等号成立． b2

c＋c≥2

b2c＝2b， c·b2

当且仅当c＝c时等号成立． c2

a＋a≥2c2a＝2c， a·c2

当且仅当a＝a时等号成立．

a2b2c2

相加得b＋b＋c＋c＋a＋a≥2a＋2b＋2c， a2b2c2

∴b＋c＋a≥a＋b＋c.

利用基本不等式证明不等式的条件要求：

?1?利用基本不等式证明不等式，关键是所证不等式中必须有“和”或“积”式，通过将“和”式转化为“积”式或将“积”式转化为“和”式，从而达到放缩的效果.

?2?注意多次运用基本不等式时等号能否取到.

[再练一题]

1．已知a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1. 111

求证：a＋b＋c≥9.

【证明】 法一 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1， 111∴＋＋ abc＝

a＋b＋ca＋b＋ca＋b＋ca＋b＋c ?ba??ca??cb?＝3＋?a＋b?＋?a＋c?＋?b＋c?≥3＋2＋2＋2＝9.

??????1

当且仅当a＝b＝c＝3时等号成立．

法二 ∵a，b，c∈(0，＋∞)，且a＋b＋c＝1，

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