内容发布更新时间 : 2024/12/23 16:40:53星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
答:(1)u?y,v??x ①求速度势函数:
?z???????1?1???1?0,为有旋流动,势函数?(x,y)不存在。 ??2??x?y?2②求流函数: 由于
1??v?u?1?u?v??0?0?0,满足不可压缩流体的连续方程,流函数?(x,y)存在: ?x?y?x,y??x,0??x,y??(x,y)??0,0???vdx?udy????0,0xdx??x,0??ydy?12x?y2。 2??(2)u?x?y,v?x?y ①求速度势函数:
?z??????1?1??1?0,为有旋流动,势函数?(x,y)不存在。 ??2??x?y?2②求流函数: 由于
1??v?u?1?u?v??1?1?2?0,不满足不可压缩流体的连续方程,流函数?(x,y)不存在。 ?x?y22(3)u?x?y?x,v???2xy?y? ①求速度势函数:
?z??????2??2y???2y???0,为无旋流动,势函数?(x,y)存在: 2??x?y???x,y??x,0?0,01??v?u?1?(x,y)???0,0??udx?vdy??x???2?xdx???x,y??x,0?122????2xy?ydy?x?y?2
112122?x?xy?y2x32?u?v???2x?1???2x?1??0,满足不可压缩流体的连续方程,流函数?(x,y)存在: ?x?y?x,y??x,0??x,y?②求流函数: 由于
?(x,y)??0,0???vdx?udy????0,02xydx??x,0???x21?y2?ydy?2x2y?xy?y3。
3?3-7 已知欧拉参数表示的速度分布为u?Ax,v??Ay,求流体质点的轨迹。 答:由轨迹方程
dxdy??dt,并将u?Ax和v??Ay代入得到: uv - 16 - / 62- 16 -
dx?Axdt
dy??aydt或者写成:
dx?Adtx
dy??Adty两端同时积分,得到:
lnx?At?C1lny??At?C2,即
x?C1eAty?C2e?At
3-8 已知流场的速度分布为u?x?t,v??y?t,求t?0时通过??1, 1, 1?点的流线。 答:将速度分布函数代入连续方程:
?u?v?w???0 ?x?y?z得到:
?w?0 ?z因此可知,速度分布与z坐标无关,流动为二维流动。由流函数定义式得到:
?x,y??(x,y)??vdx?udy???y?t?dx???x?t?dy??y?t?x??x?t?y。 ???????0,00,0x,0?x,0??x,y?由于流函数为常数时??C表示流线,因此流线方程为:
?y?t?x??x?t?y?C。
将将条件:当t?0,x??1、y?1代入上式,得C??2;因此该瞬时过??1, 1, 1?的流线方程为:
xy?1?0。
3-9已知平面不可压缩流体的速度分布为u?xt,v??2xyt,求t?1时过??2, 1?点的流
2线及此时处在这一空间点上流体质点的加速度和轨迹。
答:(1)求流线方程: 由于
?u?v??2xt?2xt?0,流函数?(x,y,t)存在,且为: ?x?y - 17 - / 62- 17 -
?x,y??x,0??0,0??x,y??(x,y,t)??0,0???vdx?udy??0?dx??x,0?22xtdy?xyt; ?则流线方程为:
x2yt?C;
将条件:当t?1时,x??2、y?1代入,得C?4;则该瞬时过将(?2, 1)点的流线方程为:
x2y?4。
(2)求加速度:
?u?u?u?u?v?x2?x2t?2xt???2xyt??0?x21?2xt2?t?x?y
?v?v?vay??u?v??2xy?x2t???2yt????2xyt????2xt???2xy?2x2yt2?t?x?yax???将条件:t?1时,x??2、y?1代入,得到该瞬时过将(?2, 1)点的流体质点的加速度为:
ax??12ay?12
(3)轨迹方程:
x??24。 , y?t2t2223-10 设不可压缩流体的速度分布为(1)u?ax?by?cz,v??dxy?eyz?fzx;
?y2z2??x2z2?(2)u?ln??b2?c2??,v?sin??a2?c2?? 。其中a、b、c、d、e、f为常数,试求第三个
????速度分布w。
答:(1)将速度分布代入连续方程:
?u?v?w???0,得到: ?x?y?z?w?ez??d?2a?x, ?z两端同时积分得到:
1w?x,y,z??ez2??d?2a?xz?C1?x,y?。
2(2)将速度分布代入连续方程:由于:
?u?v?w???0, ?x?y?z - 18 - / 62- 18 -
?v?u?0; ?0,?y?x因此:
?w?0 ?z两端同时积分得到:
w?x,y,z??C2?x,y?。
3-11 有一扩大渠道,已知两壁面交角为1弧度,在两壁面相交处有一小缝,通过此缝隙流出的体积流量为????t?(m/s),试求(1)速度分布;(2)t?0时壁面上r?2处的速
2??度和加速度。
答:(1)求速度分布:
设半径为r处的径向速度为vr,周向速度为v?。显然v??0,且vr?S?Q;其中:
?1?S?1?r?1?r,因此径向速度分布为:
11?1?vr?Q???t?;
rr?2?(2)求加速度:
?v?v11?1?ar?r?vr?r???3??t?;
?t?rrr?2?(3)当t?0时,在r?2处:
221?111?117?1?vr???0??,ar???3??0???。
2?222?232?4?3-12 已知不可压缩平面势流的分速度为u?3ax?3ay,?0,0?点上u?v?0,试求通过
22?0,0?及?0,1?两点连线的体积流量。
答:(1)求速度分布: 由平面不可压缩流体的连续方程
?u?v??0,得到: ?x?y?v?u????6ax, ?y?x两端同时对y积分:
v??6axy?C(x);
将条件:在(0,0)点v?0代入上式,得到:
- 19 - / 62- 19 -
C(x)?0,
因此:
v??6axy。
流动的速度分布为:
u?3ax2?3ay2,v??6axy。
(2)求流函数:
?x,y??x,0??x,y??(x,y,t)??0,0???vdx?udy????0,00?dx??x,0???3ax2?3ay2dy?3ax2y?ay3。
?(3)求流量:
利用流函数的性质:流场中任意两点的流函数之差等于通过两点之间连线的体积流量。由于:
??0,0??0,??0,1???a;因此流量为:
Q???0,0????0,1??0???a??a。
3-13 设流场的速度分布为u?ax,v?ay,w??2az,其中a为常数。(1)求线变形速率,角变形速率,体积膨胀率;(2)问该流场是否为无旋场?若是无旋场求出速度势。 答:(1)线形变速率为:
?xx??v?u?w?a,?zz??a,?yy???2a; ?y?x?z角形变速率为:
???0,?zx????xy?????0,?yz????0; ????2??z?x?2??y?z?2??x?y?体积膨胀率为:
1??v?u?1??w?v?1??u?w??xx??yy??zz?a?a?2a?0。
(2)求速度势:
由于平均角速度的三个分量分别为:
???0, ?x?????0,?y?????0,?z??????2??z?x?2??x?y?2??y?z?因此:
1??w?v?1??u?w?1??v?u???????xi??yj??zk?0 ?即流场为无旋流场,速度势函数?存在,且为:
xyz?(x,y,z)??udx??vdy??wdz?ax2?ay2?az2。
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