内容发布更新时间 : 2024/5/6 9:16:16星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

22．（8分）如图，以AB为直径的⊙O外接于△ABC，过A点的切线AP与BC的延长线交于点P，∠APB的平分线分别交AB，AC于点D，E，其中AE，BD（AE＜BD）的长是一元二次方程x2﹣5x+6=0的两个实数根． （1）求证：PA?BD=PB?AE；

（2）在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形？若存在，请给予证明，并求其面积；若不存在，说明理由．

【考点】MR：圆的综合题．

【分析】（1）易证∠APE=∠BPD，∠EAP=∠B，从而可知△PAE∽△PBD，利用相似三角形的性质即可求出答案．

（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G，易求得AE=2，BD=3，由（1）可知：

，

从而可知cos∠BDF=cos∠BAC=cos∠APC=，从而可求出AD和DG的长度，进而证明四边形ADFE是菱形，此时F点即为M点，利用平行四边形的面积即可求出菱形ADFE的面积． 【解答】解：（1）∵DP平分∠APB， ∴∠APE=∠BPD， ∵AP与⊙O相切，

∴∠BAP=∠BAC+∠EAP=90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB=∠BAC+∠B=90°， ∴∠EAP=∠B， ∴△PAE∽△PBD， ∴

，

∴PA?BD=PB?AE；

（2）过点D作DF⊥PB于点F，作DG⊥AC于点G， ∵DP平分∠APB，

AD⊥AP，DF⊥PB， ∴AD=DF， ∵∠EAP=∠B， ∴∠APC=∠BAC， 易证：DF∥AC， ∴∠BDF=∠BAC，

由于AE，BD（AE＜BD）的长是x2﹣5x+6=0， 解得：AE=2，BD=3， ∴由（1）可知：∴cos∠APC=

=，

，

∴cos∠BDF=cos∠APC=， ∴

，

∴DF=2， ∴DF=AE，

∴四边形ADFE是平行四边形， ∵AD=AE，

∴四边形ADFE是菱形， 此时点F即为M点， ∵cos∠BAC=cos∠APC=， ∴sin∠BAC=∴∴DG=

， ，

，

∴在线段BC上是否存在一点M，使得四边形ADME是菱形 其面积为：DG?AE=2×

=

【点评】本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定及其面积公式，相似三角形的判定与性质，综合程度较高，考查学生的灵活运用知识的能力．

23．（9分）（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形ABC，其中AB=AC，在△ABC的外侧分别以AB，AC为腰作了两个等腰直角三角形ABD，ACE，分别取BD，CE，BC的中点M，N，G，连接GM，GN．小明发现了：线段GM与GN的数量关系是 MG=NG ；位置关系是 MG⊥NG ． （2）类比思考：

如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形ABC换为一般的锐角三角形，其中AB＞AC，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由． （3）深入研究：

如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC的内侧分别作等腰直角三角形ABD，ACE，其它条件不变，试判断△GMN的形状，并给与证明．

【考点】KY：三角形综合题．

【分析】（1）利用SAS判断出△ACD≌△AEB，得出CD=BE，∠ADC=∠ABE，进而判断出∠BDC+∠DBH=90°，即：∠BHD=90°，最后用三角形中位线定理即可得出结论； （2）同（1）的方法即可得出结论；

（3）同（1）的方法得出MG=NG，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论． 【解答】解：（1）连接BE，CD相较于H， ∵△ABD和△ACE都是等腰直角三角形， ∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°

∴∠CAD=∠BAE， ∴△ACD≌△AEB（SAS）， ∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，

∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°， ∴∠BHD=90°， ∴CD⊥BE，

∵点M，G分别是BD，BC的中点， ∴MG

CD，

BE，

同理：NG

∴MG=NG，MG⊥NG，

故答案为：MG=NG，MG⊥NG；

（2）连接CD，BE，相较于H， 同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；

（3）连接EB，DC，延长线相交于H， 同（1）的方法得，MG=NG， 同（1）的方法得，△ABE≌△ADC， ∴∠AEB=∠ACD，

∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°， ∴∠DHE=90°，

同（1）的方法得，MG⊥NG．

【点评】此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，

平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．

24．（9分）如图，抛物线y=ax2+bx经过△OAB的三个顶点，其中点A（1，），O为坐标原点．

（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；

（2）若P（4，m），Q（t，n）为该抛物线上的两点，且n＜m，求t的取值范围；

（3）若C为线段AB上的一个动点，当点A，点B到直线OC的距离之和最大时，求∠BOC的大小及点C的坐标．

），点B（3，﹣

【考点】HF：二次函数综合题． 【分析】（1）将已知点坐标代入即可； （2）利用抛物线增减性可解问题；

（3）观察图形，点A，点B到直线OC的距离之和小于等于AB；同时用点A（1，（3，﹣

）求出相关角度．

），点B（3，﹣

）分别代入y=ax2+bx得

），点B

【解答】解：（1）把点A（1，

解得

∴y=﹣

（2）由（1）抛物线开口向下，对称轴为直线x= 当x＞时，y随x的增大而减小