内容发布更新时间 : 2025/1/9 23:54:09星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质(一)

学习目标 1.了解周期函数、周期、最小正周期的定义(重点).2.会求函数y＝Asin(ωx＋φ)及y＝Acos(ωx＋φ)的周期(重点).3.掌握函数y＝sin x、y＝cos x的奇偶性，会判断简单三角函数的奇偶性(重点)．

知识点1 周期函数 1．周期函数

条件 结论 2．最小正周期 条件 结论 【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)周期函数y＝f(x)的定义域可以为[a，b](a，b∈R)．( ) (2)任何周期函数都有最小正周期．( )

(3)若存在正数T，使f(x＋T)＝－f(x)，则函数f(x)的周期为2T.( ) 提示 (1)×，周期函数的定义域一定为无限集，且无上下界．

(2)×，常数函数f(x)＝c，任意一个正实数都是其周期，因而不存在最小正周期． (3)√，f(x＋2T)＝f[(x＋T)＋T]＝－f(x＋T)＝－[－f(x)]＝f(x)，所以f(x)的周期为2T．

知识点2 正弦函数、余弦函数的周期性和奇偶性

函数 周期 最小正周期 奇偶性

【预习评价】

π

函数y＝sin(x＋)是( )

2A．周期为π的奇函数

B．周期为π的偶函数

周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数 这个最小正数叫做f(x)的最小正周期 ①对于函数f(x)，存在一个非零常数T ②当x取定义域内的每一个值时，都有f(x＋T)＝f(x) 函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期 y＝sin x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 奇函数 y＝cos x 2kπ(k∈Z且k≠0) 2π 偶函数 C．周期为2π的奇函数 D．周期为2π的偶函数

π

解析 因为y＝sin(x＋)＝cos x，所以该函数是周期为2π的偶函数．

2答案 D

题型一 求三角函数的周期 【例1】 求下列函数的周期： 1π

(1)y＝2sin(x＋)，x∈R；

26π

(2)y＝1－2cos(x)，x∈R；

2(3)y＝|sin x|，x∈R． 解 (1)∵2sin?

?1x＋4π＋π?

?6??2

??1π???1π?＝2sin??x＋?＋2π?＝2sin?x＋?，

6?6???2??2

∴自变量x只要并且至少要增加到x＋4π，

?1π?函数y＝2sin?x＋?，x∈R的值才能重复出现，

6??2?1π?∴函数y＝2sin?x＋?，x∈R的周期是4π． 6??2

πππ

(2)∵1－2cos[(x＋4)]＝1－2cos(x＋2π)＝1－2cos(x)，

222

π

∴自变量x只需并且至少要增加到x＋4，函数y＝1－2cos(x)，x∈R的值才能重复

2出现，

π

∴函数y＝1－2cos(x)，x∈R的周期是4．

2(3)作图如下：

观察图象可知最小正周期为π． 规律方法 求三角函数周期的方法 (1)定义法,即利用周期函数的定义求解．

(2)公式法，对形如y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)(A，ω，φ是常数，A≠0，

ω≠0)的函数，T＝

2π

． |ω|

(3)观察法，即通过观察函数图象求其周期．

三种方法各有所长，要根据函数式的结构特征，选择适当的方法求解．

【训练1】 (1)下列是定义在R上的四个函数图象的一部分，其中不是周期函数的是( )

解析 对于D，x∈(－1,1)时的图象与其他区间图象不同，不是周期函数． 答案 D

π

(2)下列函数中，周期为的是( )

2A．y＝sin

2C．y＝cos

4

xxB．y＝sin 2x D．y＝cos 4x

2π2π2π

解析 选项A，周期T＝＝4π；选项B，周期T＝＝π；选项C，周期T＝＝8π；121242ππ

选项D，周期T＝＝．

42

答案 D

题型二 三角函数的奇偶性 【例2】 判断下列函数的奇偶性：

?1π?(1)f(x)＝sin?－x＋?；

2??2

(2)f(x)＝lg(1－sin x)－lg(1＋sin x)； 1＋sin x－cos x(3)f(x)＝．

1＋sin x1

解 (1)显然x∈R，f(x)＝cos x，

2

2

??f(－x)＝cos?－x?＝cos x＝f(x)，

∴f(x)是偶函数．

1?2?

12