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2019-2020年高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式课时提
升作业含解析新人教A版
一、选择题(每小题4分,共12分)
1.若0 B.a1a2+b1b2 D. 【解析】选A.因为0 2.(2016·商丘高二检测)设a1,a2,…,an都是正数,b1,b2,…,bn是a1,a2,…,an的任一排列,则a1A.1 C.n 2 +a2 +…+an 的最小值为 ( ) B.n D.无法确定 ≤≥a1· ≤…≤+a2· . +…+an· =n, 【解析】选B.因为a1,a2,…,an都是正数,不妨设a1≤a2≤…≤an,则由题意及排序不等式知,反序和最小,所以a1即a1 +a2 +…+an 2 2 +a2+…+an 的最小值为n. 2 2 2 2 3.已知a,b,c∈R+,则a(a-bc)+b(b-ac)+c(c-ab)的正负情况是 ( ) A.大于零 C.小于零 B.大于等于零 D.小于等于零 【解题指南】限制a,b,c的大小关系,取两数组利用排序不等式求解. 【解析】选B.设a≥b≥c>0,所以a≥b≥c, 根据排序原理,得:a×a+b×b+c×c≥ab+bc+ca. 又知ab≥ac≥bc,a≥b≥c, 所以ab+bc+ca≥abc+bca+cab. 所以a+b+c≥abc+bca+cab. 即a(a-bc)+b(b-ac)+c(c-ab)≥0. 二、填空题(每小题4分,共8分) 4.(2016·梅州高二检测)若a>0,b>0且a+b=1,则【解析】不妨设a≥b>0,则有a≥b,且≥, 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 +的最小值是________. 由排序不等式+≥·a+·b=a+b=1. + 的最小值为1. 22 当且仅当a=b=时取等号,所以答案:1 5.设a,b都是正数,若P= + ,Q=+,则二者的关系是________. 【解析】由题意不妨设a≥b>0. 由不等式的性质,知a≥b,≥.所以根据排序原理,知 ×+即 +×≥ ×+ ×. 2 2 ≥. ≥+. 答案:P≥Q 【误区警示】本题易出现观察不等式找不出排序原理用到的两组数,并用排序不等式比较大小. 三、解答题 6.(10分)(2016·广州高二检测)已知a,b,c为正数,用排序不等式证明:2(a+b+c)≥a(b+c)+b(c+a)+c(a+b). 【证明】设正数a,b,c满足a≤b≤c,则a≤b≤c,由排序不等式得, ab+bc+ca≤a+b+c, ac+ba+cb≤a+b+c, 两式相加,得: 2(a+b+c)≥a(b+c)+b(c+a)+c(a+b). 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 2 2 2 3 3 3 2 2 2 2 2 2 3 3 3 一、选择题(每小题5分,共10分) 1.已知x≥y,M=x+y,N=xy+xy,则M与N的大小关系是 ( ) A.M>N C.M B.M≥N D.M≤N 4 4 3 3 【解析】选B.由排序不等式,知M≥N. 2.(2016·长沙高二检测)已知x1,x2,…,xn均为正数,A=B=x1x2+x2x3+…+xnx1. + +…+ , 则A与B的大小关系为 ( ) A.A>B C.A≥B B.A D.A≤B 【解析】选C.因为x1,x2,…,xn均为正数,不妨设 x1≤x2≤…≤xn,根据排序不等式,得 + +…+ ≥x1x2+x2x3+…+xnx1. 即A≥B. 二、填空题(每小题5分,共10分) 3.(2016·武汉高二检测)若a,b,c>0,a+b+c=3,则ab+bc+ca的最大值是________. 【解析】不妨设a≥b≥c>0,则b,c,a为乱序,于是由排序不等式知a+b+c≥ab+bc+ac,所以ab+bc+ca≤3,即ab+bc+ca的最大值为3. 答案:3 4.(2016·珠海高二检测)设a1,a2,…,an为正数,且a1+a2+…+an=5,则________. 【解析】由所求代数式的对称性,不妨设0 ,≤,…, ≤…≤, 为 ,,≥, ≥…≥,…, , + +…+ + 的最小值为 2 2 2 2 2 2 的一个排列,由乱序和≥反序和,得 ·++an=5, ·+…+·+·≥·+·+…+·,即++…++≥a1+a2+… 故所求最小值为5. 答案:5 三、解答题 5.(10分)设x>0,求证:1+x+x+…+x≥(2n+1)x. 【解题指南】题中只给出了x>0,但是对于x≥1,x<1并不确定,因此,需要分类讨论. 【证明】(1)当x≥1时, 1≤x≤x≤…≤x. 由排序原理知, 2 n 2 2n n