内容发布更新时间 : 2024/9/26 1:19:42星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

证明题

1 由直线上互不相交的开区间作为集合A的元素，则A至多为可数集。 2 证明区间上的单调增加函数的不连续点最多只有可数多个。 3

设{A?|???},{B?|???}是两个集族.若????,A??B?,且

A??A???,B??B???,(???,?,???), 则?A???B?.

??????4 设f:X?Y, 则f是单射当且仅当?A,B?X,f(A?B)?f(A)?f(B). 5 设M[0,1]是[0.1]上全体实函数所成之集, 证明M[0,1]?26 证明数轴上一切闭区间所成之集的基数为c. 7 设A?B?c,则A?c或B?c

8 设f:X?Y, 则f是单射当且仅当?A?X,A?f?1[0,1].

[f(A)].

9 设f:X?Y, 则f是单射当且仅当?A?X,f(X?A)?f(X)?f(A). 10 设f:X?Y,f(X)?Y??C?Y,f[f?1(C)]?C.

11 设A是可数集,则A的一切有限子集所成之集是可数集. 12证明每一个闭集必是可数多个开集的交集。

13证明f(x)为[a, b]上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E?{x|f(x)?c}和

E1?{x|f(x)?c}都是闭集。

14 明直线上非空开集的任何两个不同的构成区间必不相交。

15 间（a, b）上任何两个单调函数，若在一稠密集上相等，则它们有相同的连续点． 16 证明x?E??x?E?{x} 17 证明E?为闭集.

18 证明f(x)为(a,b)上连续函数的充要条件是对任意实数c，集E?{x|f(x)?c}和

E1?{x|f(x)?c}都是直线上的开集。

19 证明x?E??d(x,E?{x})?0.

20 证明任何非空闭集可表示为可数个开集的交. 21 证明Rn中的孤立点集至多可数.

1