内容发布更新时间 : 2024/11/13 8:46:32星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

∵直线OB的解析式为y=2x，

∴直线MN的解析式为y=﹣x+，

∴N（0，），

∴ON=．

（3）结论：BF=DE．理由如下：

如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，

OM=m，ME=a．则BN=，DM=．

∵△EDM∽△EBN，

∴=，

∴= ，可得

a=m，

∵NK∥EF，

∴∠KNO=∠DEM，∠KON=∠DME=90°，ON=EM， ∴△KNO≌△DEM， ∴DE=KN，

∵FK∥BN，NK∥FB，

∴四边形NKFB是平行四边形， ∴NK=BF， ∴BF=DE．

【点评】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力．

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28．（9分）（2017?济南）某学习小组的学生在学习中遇到了下面的问题：

如图1，在△ABC和△ADE中，∠ACB=∠AED=90°，∠CAB=∠EAD=60°，点E，A，C在同一条直线上，连接BD，点F是BD的中点，连接EF，CF，试判断△CEF的形状并

说明理由．问题探究：

（1）小婷同学提出解题思路：先探究△CEF的两条边是否相等，如EF=CF，以下是她的证明过程

证明：延长线段EF交CB的延长线于点G． ∵F是BD的中点， ∴BF=DF． ∵∠ACB=∠AED=90°， ∴ED∥CG． 请根据以上证明过程，解答下列两个问题： ①在图1中作出证明中所描述的辅助线；

②在证明的括号中填写理由（请在SAS，ASA，AAS，SSS中选择）．

（2）在（1）的探究结论的基础上，请你帮助小婷求出∠CEF的度数，并判断△CEF的形状． 问题拓展：

（3）如图2，当△ADE绕点A逆时针旋转某个角度时，连接CE，延长DE交BC的延长线于点P，其他条件不变，判断△CEF的形状并给出证明． 【考点】RB：几何变换综合题．

【分析】（1）①由证明过程即可作出图形； ②根据判断三角形全等的方法即可得出结论；

（2）先判断出EH=DE，进而判断出四边形BGEH是平行四边形，得出∠DEF=∠H=30°，

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∴∠BGF=∠DEF． 又∵∠BFG=∠DFE， ∴△BGF≌△DEF（ ASA ）． ∴EF=FG． ∴CF=EF=EG．

即可求出∠CEF=∠AED﹣∠DEF=60°，即可得出结论；

（3）先判断出△DEF≌△BGF（SAS），得出∠CAE=∠CBG，再判断出

，进而

得出△BCG∽△ACE，得出∠BCG=∠ACE，进而判断出=90°，即可得出CF=EF=EG，再

求出= ，最后用锐角三角函数求出∠CEG即可得出结论．

【解答】解：（1）①由题意作图如图1所示图形， ②证明：延长线段EF交CB的延长线于点G． ∵F是BD的中点， ∴BF=DF．

∵∠ACB=∠AED=90°， ∴ED∥CG． ∴∠BGF=∠DEF． 又∵∠BFG=∠DFE， ∴△BGF≌△DEF（ ASA）． ∴EF=FG．

∴CF=EF=EG．

故答案为ASA；

（2）如图3，延长BA，DE相交于点F， ∵∠BAC=60°， ∴∠EAH=60°=∠EAD， ∵∠AED=90°， ∴∠H=30°，EH=DE，

由（1）②知，△BGF≌△DEF， ∴DE=BG， ∴EH=BG， ∵DE∥BG，

∴四边形BGEH是平行四边形，∠DEF=∠H=30°， ∴∠CEF=∠AED﹣∠DEF=60°， ∵CF=EF，

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∴△CEF是等边三角形；

（3）如图2，

延长EF至G使，FG=EF， ∵点F是BD的中点， ∴DF=BF， ∵∠DFE=∠BFG， ∴△DEF≌△BGF（SAS）， ∴BG∥DP，

∴∠P+∠CBG=180°，

在四边形ACPE中，∠AEP=∠ACP=90°， 根据四边形的内角和得，∠CAE+∠P=180°， ∴∠CAE=∠CBG，

在Rt△ADE中，∠DAE=60°，

∴tan∠DAE== ，

即： ，

同理： ，

∴ ，

∵∠CBG=∠CAE， ∴△BCG∽△ACE， ∴∠BCG=∠ACE，

∴∠ECG=∠ACE+∠ACG=∠BCG+∠ACG=90°， 在Rt△CEG中，EF=GF，

∴CF=EF=EG，

∵△BCG∽△ACE， ∴

= ，

在Rt△CEG中，tan∠CEG=∴∠CEG=60°，

= ，

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