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厦门大学网络教育2015-2016学年第二学期

《线性代数》离线作业

学习中心： 年级： 专业： 学 号： 姓名： 成绩：

一、 选择题（共7小题，每题3分）

1.

k?124k?3。 ?0 的充要条件是（ A ）

A．k=-1或k=5； B．k=-1且k=5； C．k=-1； D．k=5

?10??0-22. 设矩阵A=?-10??00?20??00?，矩阵B满足AB+B+A+2E=0，则B?E=（ C ）。 10??01??11A．-6； B．6； C．-； D． 1212?1111???3．设矩阵A??01-1a?，A*是A的伴随矩阵，若r（A*）=1，则a=( D )。

?23a4???A．3； B． 2； C． -2； D．1或3

?120???4．设矩阵???210?，则下列矩阵中必与A合同的是( A )。

?00?2???0??10??0?10A．??； B． ?00?1????100???010??； ?00?1???0??100???10????C．?010?； D．?0?10?

?001??00?1?????TTTT（1,2,3,1）,?2?（3,4,7,?1）,?3?（2,6,a,6）,?4?（0,1,3,a）,那么a?8是5.设?1??1,?2,?3,?4线性相关的 ( A )

A．充分必要条件； B．充分而非必要条件； C． 必要而非充分条件； D．既不充分也不必要条件。 6．设A为四阶方阵，且满足A2=A，则秩r(A)+ 秩r(A-E)=( A );

A． 4； B. 3； C. 2； D. 1

t7．设(?1)a33a2ra41a52a1s是五阶行列式D中的一项，则下述说法正确的是( A )。

A．r?4,s?5,t为奇数； B．r?4,s?5,t为偶数； B． r?5,s?4,t为奇数； D．以上均不正确

二、 填空题（共7小题，每题3分）

?222???则aTa= 6 。1. 已知a是3维列量，aT是a的转置，若矩阵aaT相似于222，

????222??2. 已知矩阵A????47??2?7????，则的逆为_____ ____。 A????12???14??201???3. 若矩阵A??31??可相似对角化? 则?x= 3 。

?405???4. 设3阶矩阵?的特征值为1,2,3，那么A-5A?7A? 18 。

325. 四元齐次线性方程组??x1?2x4?0的基础解系是 (0,1,0,0)T, (-2,0,3,1)T 。

?x3?3x4?0326. 设A是三阶实对称矩阵，满足A?2A?5A-6E，保证kE+A是正定阵，则k的取

值范围是 K>2 。

?3???7. (0,2,0)?2?? (4) 。

?1???

三、 计算题（共5小题）

1. (10分) 一城市局部交通流如图所示.(单位: 辆/小时)

300 x1 150 x2 x3 x4 200 x5 350 1) 建立数学模型

2) 要控制x2至多200辆/小时, 并且x3至多50辆小时是可行的吗?

解:（1）将上图的四个结点命名为A, B, C, D, 如下图所示:

A 300 x1 B 150

x2 x3 x4 200 C x5 D 350

则每一个结点流入的车流总和与流出的车流总和应当一样, 这样这四个结点可列出四个方程如下:

?300?x1?x2?x?x3?x4?150?1??x5?200??x2?x3?x4?x5?350?对增广矩阵进行变换:

ABCD

?1100?101?1??0?110??0001r2?(?1)?1r2?r3?r2?(?1)?r1?0???????0??00300??11000300??0?11?10?150?0150?r?(?1)?r12??????????0?1101200?1200????1350??00011350?01?10150?r3?(?1)?r4?10101500?r3?(?1)?r2??1?110150?01?10?1?200r?r31??????????000110011350?350????0011350?000000??

可见x3和x5为自由变量, 因此令x3=s, x5=t, 其中s,t为任意正整数(车流量不可能为负值), 则可得x1=500-s-t, x2=s+t-200, x4=350-t.

2) 令x2=200, x3=s=50, 代入上面的x2的表达式, 得200=50+t-200, 求出t=350, 则x1=500-s-t=100, x4=0, 是可行的.

?010??101??123???????2. 设?100?A?010???456?? 求A? (8分)

?001??001??789???????

22?ax3?4x1x2?2x1x3?2x2x3，若正交变换 3. 设二次型f(x1,x2,x3)??2x12?2x222?by3，(1) 求a，b的值；(2) 求正交矩X?UY可将f化为标准形f??y12?2y2阵U。(15分)