内容发布更新时间 : 2024/11/2 17:26:24星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

4. (15分) 已知实二次型f(x,y)?5x2?4xy?2y2， （1）写出f的矩阵A； （2）求f的秩；

（3）求正交变换X?PY（必须写出正交变换矩阵P），把f化为标准形。 解：（1）

?1??5正交变换矩阵为P=??2??5?1??5P-1=PT=??2??52??5? 1??5?2??5? 1??5?

?1?TTTT22

PAP=A=??6??,令X=PY,则f的标准形为f=XAX=YPAPY=Y?Y=y+6y

??-1

??x1?x2?x3?1?5. ?取何值时? 非齐次线性方程组?x1??x2?x3??? (10分)

?2?x1?x2??x3??(1)有唯一解? (2)无解? (3)有无穷多个解? 解：

(1)对非齐次线性方程组的增广矩阵作初等变换

λ111?111(λ?1)(λ?1)λ?1(λ?1)(λ?1)（A,b）=1?11?0

λλλ11??200(λ?2)(λ?1)(λ?1)(λ?1)当

(??1)(??1)?≠0，且(?+2)(?-1)≠0，即?≠1且?≠-1，且?≠-2时，方程

组有唯一解；

（2）当?=-2时，r(A)=2，r(A,b)=3, 方程组无解； （3）当?=1时，r(A)=1＜3，方程组有无穷多个解；

1111r(A,b)=0000 0000当?=-1时，r(A)=1＜3，方程组有无穷多个解；

?111210

r(A,b)=00

00?20