内容发布更新时间 : 2024/5/18 19:18:08星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
第一章 计数原理
[A 基础达标]
1.5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )
A．10种 C．25种
B．20种 D．32种
解析：选D．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有2＝32种，选D．
2.从甲、乙、丙、丁四名同学中选出三名同学，分别参加三个不同科目的竞赛，其中甲同学必须参赛，则不同的参赛方案共有( )
A．24种 C．21种
B．18种 D．9种
2
5
解析：选B．从除甲外的乙、丙、丁三名同学中选出2人，有C3种选法，再将3人安排到3个科目，有A3种，故共有C3A3＝18(种).
3.在(1＋ax)的展开式中，x项的系数是x项的系数与x项的系数的等比中项，则a的值为( )
A．
10 5
5B． 325D．
3
kkk7
3
2
5
3
23
25C．
9
解析：选C．展开式的通项Tk＋1＝C7ax(k＝0，1，…，7)， 253322255
由题意得，(C7a)＝C7a·C7a，所以a＝.
9
?1?4.(2x＋1)?1－?的展开式的常数项是( ) ?x?
A．－10 C．11
5
B．－9 D．9
5
1111??1??5
解析：选B．(2x＋1)?1－?＝(2x＋1)·?1－＋10·2－10·3＋5·4－5?，故展开式
xxxx??x??x中的常数项是2×(－5)＋1＝－9.故选B．
5.将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里球的个数不小于该盒子的编号，则不同的放球方法有( )
A．10种
B．20种
- 1 -
C．36种 D．52种
1
解析：选A．分为两类：①1号盒子放入1个球，2号盒子放入3个球，有C4＝4种放球方法；②1号盒子放入2个球，2号盒子放入2个球，有C4＝6种放球方法.
所以共有C4＋C4＝10种不同的放球方法.
6.已知(1＋mx)＝a0＋a1x＋a2x＋…＋a6x，若a1＋a2＋…＋a6＝63，则实数m＝________. 解析：由题设知，a0＝1，令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(1＋m)，即(1＋m)＝64，故1＋m＝±2，m＝1或－3.
答案：1或－3
3??7.在?2x＋－4?的展开式中，不含x的各项系数之和为________. y??
3???3?解析：?2x＋－4?的展开式中，不含x的各项系数之和，即?－4?的各项系数之和．令y???y?
9
9
9
6
6
6
2
6
1
2
2
?3?y＝1，可得?－4?的各项系数之和为(－1)9＝－1. ?y?
答案：－1
8.如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂1种颜色，要求最多使用3种颜色，且相邻的2个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有________种.
2
9
解析：如图，将4个区域标上A，B，C，D，当使用2种颜色时，涂色种数为C6×2＝30种.
A B C D 3
3
当使用3种颜色时，可能(A，C)或(A，D)或(B，D)涂同一颜色，涂色方案有C6·A3·3＝360种．
所以涂色方案共有360＋30＝390种． 答案：390
9．在二项式(1－2x)的展开式中． (1)求展开式中的第四项； (2)求展开式中的常数项．
解：(1)在二项式(1－2x)的展开式中， 展开式的第四项为T4＝C9·(－2x)＝－672x. (2)二项式(1－2x)的展开式的通项公式为
rTr＋1＝Cr9·(－2x)，由r＝0，可得常数项为1.
9
3
3
3
9
9
[B 能力提升]
10．把座位编号为1，2，3，4，5，6的6张电影票分给甲、乙、丙、丁四个人，每人至
- 2 -
少分一张，至多分两张，且分得的两张票必须是连号的，那么不同分法种数为( )
A．240 C．196
B．144 D．288
解析：选B．根据题意，分2步进行分析： ①先将票分为符合条件的4份；
由题意，4人分6张票，且每人至少一张，至多两张，则两人一张，2人2张，且分得的票必须是连号的，相当于将1、2、3、4、5、6这六个数用3个板子隔开，分为四部分且不存在三连号，易得在5个空位插3个板子，共有C5＝10种情况，但其中有4种是1人3张票的，故有10－4＝6种情况符合题意，
②将分好的4份对应到4个人，进行全排列即可，有A4＝24种情况；则有6×24＝144种情况．
11．现有5名教师要带3个兴趣小组外出学习考察，要求每个兴趣小组的带队教师至多2人，但其中甲教师和乙教师均不能单独带队，则不同的带队方案有________种．(用数字作答)
解析：第一类，把甲，乙看作一个复合元素，和另外的3人分配到3个小组中，C3A3＝18种．
第二类，先把另外的3人分配到3个小组，再把甲，乙分配到其中2个小组，A3A3＝36种， 根据分类加法计数原理可得，共有36＋18＝54(种)． 答案：54
32
23
4
3
?m?12．已知?x＋?展开式的二项式系数之和为256.
?x?
(1)求n；
35
(2)若展开式中常数项为，求m的值；
8
(3)若(x＋m)展开式中系数最大项只有第6项和第7项，求m的取值情况． 解：(1)二项式系数之和为2＝256，可得n＝8. (2)设常数项为第r＋1项，则
nnn?m?r8－2rTr＋1＝C8x??＝Cr， 8mx?x?
r8－rr3544
故8－2r＝0，即r＝4，则C8m＝，
81
解得m＝±. 2
(3)易知m>0，设第r＋1项系数最大．
??C8m≥C8m则?rrr＋1r＋1， ?C8m≥C8m?
rrr－1r－1
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