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理科必做题

专题4 离散型随机变量的分布列、均值与方差

【三年高考】

1. 【2017江苏，理23】已知一个口袋中有m个白球，n个黑球(m,n?N*,n≥2)，这些球除颜色外全部相

同．现将口袋中的球随机地逐个取出，并放入如图所示的编号为1,2,3,取出的球放入编号为k的抽屉(k?1,2,3,1 2 ,m?n)．

,m?n的抽屉内，其中第k次

3 m?n （1）试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p；

（2）随机变量X表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数，E(X)是X的数学期望，证明：

E(X)?n．

(m?n)(n?1)2. 【2014江苏，理22】盒中共有9个球，其中有4个红球，3个黄球和2个绿球，这些球除颜色外完全相同.

（1）从盒中一次随机抽出2个球，求取出的2个球的颜色相同的概率；

（2）从盒中一次随机抽出4个球，其中红球、黄球、绿球的个数分别为x1,x2,x3，随机变量X表示x1,x2,x3的最大数，求X的概率分布和数学期望E(X).

3．【2012江苏，理22】设ξ为随机变量．从棱长为1的正方体的12条棱中任取两条，当两条棱相交时，ξ＝0；当两条棱平行时，ξ的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，ξ＝1. (1)求概率P(ξ＝0)；

(2)求ξ的分布列，并求其数学期望E(ξ)．

4．【2017山东，理18】（本小题满分12分）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如下：将参加试验的志愿者随机分成两组，一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙种心理暗示，通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用，现有6名男志愿者A1，A2，A3，A4，A5，A6和4名女志愿者B1，B2，B3，B4，从中随机抽取5人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示.

（I）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A1但不包含B1的频率。

（II）用X表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数，求X的分布列与数学期望EX.

5.【2017课标1，理19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取

16个零件，并测量其尺寸（单位：cm）．根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件

2的尺寸服从正态分布N(?,?)．

（1）假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(??3?,??3?)之外的零件数，求P(X?1)及X的数学期望；

（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(??3?,??3?)之外的零件，就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查．

（ⅰ）试说明上述监控生产过程方法的合理性； （ⅱ）下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：

9.95 10.26 10.12 9.91 9.96 9.96 10.01 9.22 9.92 9.98 10.04 9.95 10.13 10.02 10.04 10.05 11611611622xi?9.97，s?经计算得x?(xi?x)?(?xi?16x2)2?0.212，其中xi为抽取??16i?116i?116i?1的第i个零件的尺寸，i?1,2,???,16．

?，用样本标准差s作为?的估计值??，利用估计值判断是否需对当用样本平均数x作为?的估计值???3??,???3??)之外的数据，用剩下的数据估计?和?（精确到0.01）． 天的生产过程进行检查？剔除(?2附：若随机变量Z服从正态分布N(?,?)，则P(??3??Z???3?)?0.997 4，

0.997 416?0.959 2，0.008?0.09．

6.【2017课标II，理18】海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100 个网箱，测量各箱水产品的产量（单位：kg）某频率分布直方图如下：

（1） 设两种养殖方法的箱产量相互独立，记A表示事件：“旧养殖法的箱产量低于50kg, 新养殖法的箱产

量不低于50kg”，估计A的概率；

（2） 填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关：

旧养殖法 新养殖法

箱产量＜50kg 箱产量≥50kg （3） 根据箱产量的频率分布直方图，求新养殖法箱产量的中位数的估计值（精确到0.01）

附：

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(a?b)(c?d)(a?c)(b?d)27.【2017北京，理17】为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药.一段时间后，记录了两组患者的生理指标x和y的数据，并制成下图，其中“*”表示服药者，“+”表示未服药者.

（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标y的值小于60的概率；

（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机.选出两人，记?为选出的两人中指标x的值大于1.7的人数，求?的

分布列和数学期望E（?）；

（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标y数据的方差与未服药者指标y数据的方差的大小.（只需写出结论） 8.【2017天津，理16】从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为

111,,. 234（Ⅰ）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望；