内容发布更新时间 : 2024/5/16 3:35:51星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

⑥终边在y??x轴上的角的集合：?|??k?180??45?,k?Z

⑦若角?与角?的终边关于x轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?? ⑧若角?与角?的终边关于y轴对称，则角?与角?的关系：??360?k?180??? ⑨若角?与角?的终边在一条直线上，则角?与角?的关系：??180?k?? ⑩角?与角?的终边互相垂直，则角?与角?的关系：??360?k???90?

2. 角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.

弧度与角度互换公式： 1rad＝180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝?≈0.01745（rad）

?180??3、弧长公式：l?|?|?r. 扇形面积公式：s扇形?lr?|?|?r2

ya的终边P（x,y)r12124、三角函数：设?是一个任意角，在?的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r，则 sin??y； ryrrxxcos??； tan??； cot??； sec??；. csc??. xxyryox5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） ++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx

6、三角函数线

正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： 三角函数 f(x)?sinx f(x)?cosx f(x)?tanx f(x)?cotx f(x)?secx f(x)?cscx 定义域 ?x|x?R? ?x|x?R? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? cos?sin??cot?8、同角三角函数的基本关系式：sin??tan? cos?tan??cot??1 csc??sin??1 sec??cos??1

sin2??cos2??1 sec2??tan2??1 csc2??cot2??1

第16页 共73页

9、诱导公式：

把k?“奇变偶不变，符号看象限” ??的三角函数化为?的三角函数，概括为：2 三角函数的公式：（一）基本关系

公式组二 公式组三 sin(2k??x)?sinxsin(?x)??sinxcos(2k??x)?cosxcos(?x)?cosx

tan(2k??x)?tanxtan(?x)??tanxcot(2k??x)?cotxcot(?x)??cotx公式组四 公式组五 公式组六 sin(??x)??sinxsin(2??x)??sinxsin(??x)?sinxcos(??x)??cosxcos(2??x)?cosxcos(??x)??cosx

tan(??x)?tanxtan(2??x)??tanxtan(??x)??tanxcot(??x)?cotxcot(2??x)??cotxcot(??x)??cotx（二）角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos?

cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2? sin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin2tan?1?tan?2

?2??1?cos? 2tan(???)?tan??tan??1?cos? cos??

1?tan?tan?22tan??tan??1?cos?sin?1?cos? tan????1?tan?tan?21?cos?1?cos?sin?tan(???)?公式组三 公式组四 公式组五 1sin?cos???sin??????sin??????1?2cos(???)?sin?2tan212 sin??cos?sin???sin??????sin???????211?tan2sin(???)?cos?212cos?cos???cos??????cos??????21?tan(???)?cot?11?tan222 sin?sin????cos??????cos??????cos??2???????11?tan2sin??sin??2sincoscos(???)??sin?2222??????sin??sin??2cossin1?22tan(???)??cot?2tan??????22 cos??cos??2coscostan??22?11?tan2??????sin(???)?cos?cos??cos???2sinsin2222sin15??cos75??6?2,sin75??cos15??46?2,tan15??cot75??2?3,tan75??cot15??2?3

4第17页 共73页

10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质： 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 y?sinxR [?1,?1] y?cosxR [?1,?1] y ?tanx1??x|x?R且x?k???,k?Z?? 2?? y?cotx ?x|x?R且x?k?,k?Z?R ? y?Asin??x??? （A、?＞0） R R ? ??A,A? ?当??0,非奇非偶 当??0,奇函数 ??2k?????2k?????2(A),????1?????2(?A)??????2? 2? 奇函数 2? 偶函数 奇函数 奇函数 [??2?2k?,[?2k?1??,????；???k?,?k??22k?]?2??k?,?k?1???上为减函数（k?Z） ??2?2k?]上为增函数；[上为增函数[2k?, ?2k?1??]上为减函数 （k?Z） 上为增函数（k?Z） ?23??2k?]2?2k?,上为增函数； ??2k?????上为减函数（k?Z） ??2(A),???????3?2k??2????(?A)?????上为减函数（k?Z） 注意：①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反；y??cosx与y?cosx的单调性也同样相反.一般地，若y?f(x)在[a,b]上递增（减），则y??f(x)在[a,b]上递减（增）.

▲②y?sinx与y?cosx的周期是?.

③y?sin(?x??)或y?cos(?x??)（??0）的周期T?2?y?.

Oxxy?tan的周期为2?（T???T?2?，如图，翻折无效）.

2?④y?sin(?x??)的对称轴方程是x?k???2（k?Z），对称中心（k?,0）；y?cos(?x??)的对称轴方程是x?k?（k?Z），对称中心（k??1?,0）；y?tan(?x??)的对称中心

2（

k?,0）. 2?2(k?Z)；tan?·tan???1,????k??y?cos2x?原点对称????y??cos(?2x)??cos2x

⑤当tan?·tan??1,????k???2(k?Z).

??⑥y?cosx与y?sin??x??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数，则

2??第18页 共73页

1y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x).

2⑦函数y?tanx在R上为增函数.（×） [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域，

y?tanx为增函数，同样也是错误的].

⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件：一是定义域关于原点对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f(?x)?f(x)，奇函数：f(?x)??f(x)）

奇偶性的单调性：奇同偶反. 例如：y?tanx是奇函数，y?tan(x?1?)是非奇非偶.（定

3义域不关于原点对称）

奇函数特有性质：若0?x的定义域，则f(x)一定有f(0)?0.（0?x的定义域，则无此性质）

▲⑨y?sinx不是周期函数；y?sinx为周期函数（T??）； y?cosx是周期函数（如图）；y?cosx为周期函数（T??）； y▲yx1/2xy=cos|x|图象1y?cos2x?的周期为?（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如：

2y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R.

⑩y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos??11、三角函数图象的作法： １）、几何法：

２）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）. ３）、利用图象变换作三角函数图象．

三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等．

函数y＝Asin（ωx＋φ）的振幅|A|，周期T?2?，频率f?1?|?|，相位?x??;初相

|?|b 有a2?b2?y. aT2??（即当x＝0时的相位）．（当A＞0，ω＞0 时以上公式可去绝对值符号），

由y＝sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当|A|＞1）或缩短（当0＜|A|＜1）到原来的|A|倍，得到y＝Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换．（用y/A替换y）

由y＝sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0＜|ω|＜1）或缩短（|ω|＞1）到原来的|1|倍，得到y＝sinω x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换．(用

?ωx替换x)

由y＝sinx的图象上所有的点向左（当φ＞0）或向右（当φ＜0）平行移动｜φ｜个单位，得到y＝sin（x＋φ）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移．(用x＋φ替换x)

第19页 共73页

由y＝sinx的图象上所有的点向上（当b＞0）或向下（当b＜0）平行移动｜b｜个单位，得到y＝sinx＋b的图象叫做沿y轴方向的平移．（用y+(-b)替换y）

由y＝sinx的图象利用图象变换作函数y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）（x∈R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延x轴量伸缩量的区别。

4、反三角函数： 函数y＝sinx，??????的反函数叫做反正弦函数，记作???x???2，?2???????22??y＝arcsinx，它的定义域是［－

1，1］，值域是?－?，??．

函数y＝cosx，（x∈［0，π］）的反应函数叫做反余弦函数，记作y＝arccosx，它的定义域是［－1，1］，值域是［0，π］．

函数y＝tanx，??????的反函数叫做反正切函数，记作????x???2，2????????22?y＝arctanx，它的定义域是

（－∞，＋∞），值域是???，??．

函数y＝ctgx，［x∈（0，π）］的反函数叫做反余切函数，记作y＝arcctgx，它的定义域是（－∞，＋∞），值域是（0，π）．

II. 竞赛知识要点

一、反三角函数.

1. 反三角函数：⑴反正弦函数y?arcsinx是奇函数，故arcsin(?x)??arcsinx，x???1,1?（一定要注明定义域，若x????,???，没有x与y一一对应，故y?sinx无反函数） 注：sin(arcsinx)?x，x???1,1?，arcsinx????,??.

?22???⑵反余弦函数y?arccosx非奇非偶，但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?，x???1,1?. 注：①cos(arccosx)?x，x???1,1?，arccosx??0,??.

②y?cosx是偶函数，y?arccosx非奇非偶，而y?sinx和y?arcsinx为奇函数. ⑶反正切函数：y?arctanx，定义域(??,??)，值域（?arctan(?x)??arctanx，x?(??,??). 注：tan(arctanx)?x，x?(??,??).

?? ,），y?arctanx是奇函数，

22⑷反余切函数：y?arccotx，定义域(??,??)，值域（???22,），y?arccotx是非奇非

偶.

arccot(?x)?arccot(x)???2k?，x?(??,??). 注：①cot(arccotx)?x，x?(??,??).

②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数，y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arccotx非奇非偶但满足arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1].

⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集：

第20页 共73页