内容发布更新时间 : 2024/12/23 19:02:54星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
⑥终边在y??x轴上的角的集合:?|??k?180??45?,k?Z
⑦若角?与角?的终边关于x轴对称,则角?与角?的关系:??360?k?? ⑧若角?与角?的终边关于y轴对称,则角?与角?的关系:??360?k?180??? ⑨若角?与角?的终边在一条直线上,则角?与角?的关系:??180?k?? ⑩角?与角?的终边互相垂直,则角?与角?的关系:??360?k???90?
2. 角度与弧度的互换关系:360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零.
弧度与角度互换公式: 1rad=180°≈57.30°=57°18ˊ. 1°=?≈0.01745(rad)
?180??3、弧长公式:l?|?|?r. 扇形面积公式:s扇形?lr?|?|?r2
ya的终边P(x,y)r12124、三角函数:设?是一个任意角,在?的终边上任取(异于原点的)一点P(x,y)P与原点的距离为r,则 sin??y; ryrrxxcos??; tan??; cot??; sec??;. csc??. xxyryox5、三角函数在各象限的符号:(一全二正弦,三切四余弦) ++ox--正弦、余割y-+o-+x余弦、正割y-+ox+-正切、余切OyyPTMAx
6、三角函数线
正弦线:MP; 余弦线:OM; 正切线: AT. 7. 三角函数的定义域: 三角函数 f(x)?sinx f(x)?cosx f(x)?tanx f(x)?cotx f(x)?secx f(x)?cscx 定义域 ?x|x?R? ?x|x?R? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? 1???x|x?R且x?k???,k?Z? 2???x|x?R且x?k?,k?Z? cos?sin??cot?8、同角三角函数的基本关系式:sin??tan? cos?tan??cot??1 csc??sin??1 sec??cos??1
sin2??cos2??1 sec2??tan2??1 csc2??cot2??1
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9、诱导公式:
把k?“奇变偶不变,符号看象限” ??的三角函数化为?的三角函数,概括为:2 三角函数的公式:(一)基本关系
公式组二 公式组三 sin(2k??x)?sinxsin(?x)??sinxcos(2k??x)?cosxcos(?x)?cosx
tan(2k??x)?tanxtan(?x)??tanxcot(2k??x)?cotxcot(?x)??cotx公式组四 公式组五 公式组六 sin(??x)??sinxsin(2??x)??sinxsin(??x)?sinxcos(??x)??cosxcos(2??x)?cosxcos(??x)??cosx
tan(??x)?tanxtan(2??x)??tanxtan(??x)??tanxcot(??x)?cotxcot(2??x)??cotxcot(??x)??cotx(二)角与角之间的互换 公式组一 公式组二 cos(???)?cos?cos??sin?sin? sin2??2sin?cos?
cos(???)?cos?cos??sin?sin? cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2? sin(???)?sin?cos??cos?sin? tan2??sin(???)?sin?cos??cos?sin? sin2tan?1?tan?2
?2??1?cos? 2tan(???)?tan??tan??1?cos? cos??
1?tan?tan?22tan??tan??1?cos?sin?1?cos? tan????1?tan?tan?21?cos?1?cos?sin?tan(???)?公式组三 公式组四 公式组五 1sin?cos???sin??????sin??????1?2cos(???)?sin?2tan212 sin??cos?sin???sin??????sin???????211?tan2sin(???)?cos?212cos?cos???cos??????cos??????21?tan(???)?cot?11?tan222 sin?sin????cos??????cos??????cos??2???????11?tan2sin??sin??2sincoscos(???)??sin?2222??????sin??sin??2cossin1?22tan(???)??cot?2tan??????22 cos??cos??2coscostan??22?11?tan2??????sin(???)?cos?cos??cos???2sinsin2222sin15??cos75??6?2,sin75??cos15??46?2,tan15??cot75??2?3,tan75??cot15??2?3
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10. 正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质: 定义域 值域 周期性 奇偶性 单调性 y?sinxR [?1,?1] y?cosxR [?1,?1] y ?tanx1??x|x?R且x?k???,k?Z?? 2?? y?cotx ?x|x?R且x?k?,k?Z?R ? y?Asin??x??? (A、?>0) R R ? ??A,A? ?当??0,非奇非偶 当??0,奇函数 ??2k?????2k?????2(A),????1?????2(?A)??????2? 2? 奇函数 2? 偶函数 奇函数 奇函数 [??2?2k?,[?2k?1??,????;???k?,?k??22k?]?2??k?,?k?1???上为减函数(k?Z) ??2?2k?]上为增函数;[上为增函数[2k?, ?2k?1??]上为减函数 (k?Z) 上为增函数(k?Z) ?23??2k?]2?2k?,上为增函数; ??2k?????上为减函数(k?Z) ??2(A),???????3?2k??2????(?A)?????上为减函数(k?Z) 注意:①y??sinx与y?sinx的单调性正好相反;y??cosx与y?cosx的单调性也同样相反.一般地,若y?f(x)在[a,b]上递增(减),则y??f(x)在[a,b]上递减(增).
▲②y?sinx与y?cosx的周期是?.
③y?sin(?x??)或y?cos(?x??)(??0)的周期T?2?y?.
Oxxy?tan的周期为2?(T???T?2?,如图,翻折无效).
2?④y?sin(?x??)的对称轴方程是x?k???2(k?Z),对称中心(k?,0);y?cos(?x??)的对称轴方程是x?k?(k?Z),对称中心(k??1?,0);y?tan(?x??)的对称中心
2(
k?,0). 2?2(k?Z);tan?·tan???1,????k??y?cos2x?原点对称????y??cos(?2x)??cos2x
⑤当tan?·tan??1,????k???2(k?Z).
??⑥y?cosx与y?sin??x??2k??是同一函数,而y?(?x??)是偶函数,则
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1y?(?x??)?sin(?x?k???)??cos(?x).
2⑦函数y?tanx在R上为增函数.(×) [只能在某个单调区间单调递增. 若在整个定义域,
y?tanx为增函数,同样也是错误的].
⑧定义域关于原点对称是f(x)具有奇偶性的必要不充分条件.(奇偶性的两个条件:一是定义域关于原点对称(奇偶都要),二是满足奇偶性条件,偶函数:f(?x)?f(x),奇函数:f(?x)??f(x))
奇偶性的单调性:奇同偶反. 例如:y?tanx是奇函数,y?tan(x?1?)是非奇非偶.(定
3义域不关于原点对称)
奇函数特有性质:若0?x的定义域,则f(x)一定有f(0)?0.(0?x的定义域,则无此性质)
▲⑨y?sinx不是周期函数;y?sinx为周期函数(T??); y?cosx是周期函数(如图);y?cosx为周期函数(T??); y▲yx1/2xy=cos|x|图象1y?cos2x?的周期为?(如图),并非所有周期函数都有最小正周期,例如:
2y=|cos2x+1/2|图象y?f(x)?5?f(x?k),k?R.
⑩y?acos??bsin??a2?b2sin(???)?cos??11、三角函数图象的作法: 1)、几何法:
2)、描点法及其特例——五点作图法(正、余弦曲线),三点二线作图法(正、余切曲线). 3)、利用图象变换作三角函数图象.
三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.
函数y=Asin(ωx+φ)的振幅|A|,周期T?2?,频率f?1?|?|,相位?x??;初相
|?|b 有a2?b2?y. aT2??(即当x=0时的相位).(当A>0,ω>0 时以上公式可去绝对值符号),
由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变,纵坐标伸长(当|A|>1)或缩短(当0<|A|<1)到原来的|A|倍,得到y=Asinx的图象,叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.(用y/A替换y)
由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变,横坐标伸长(0<|ω|<1)或缩短(|ω|>1)到原来的|1|倍,得到y=sinω x的图象,叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.(用
?ωx替换x)
由y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0)或向右(当φ<0)平行移动|φ|个单位,得到y=sin(x+φ)的图象,叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.(用x+φ替换x)
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由y=sinx的图象上所有的点向上(当b>0)或向下(当b<0)平行移动|b|个单位,得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.(用y+(-b)替换y)
由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)(x∈R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不同时,原图象延x轴量伸缩量的区别。
4、反三角函数: 函数y=sinx,??????的反函数叫做反正弦函数,记作???x???2,?2???????22??y=arcsinx,它的定义域是[-
1,1],值域是?-?,??.
函数y=cosx,(x∈[0,π])的反应函数叫做反余弦函数,记作y=arccosx,它的定义域是[-1,1],值域是[0,π].
函数y=tanx,??????的反函数叫做反正切函数,记作????x???2,2????????22?y=arctanx,它的定义域是
(-∞,+∞),值域是???,??.
函数y=ctgx,[x∈(0,π)]的反函数叫做反余切函数,记作y=arcctgx,它的定义域是(-∞,+∞),值域是(0,π).
II. 竞赛知识要点
一、反三角函数.
1. 反三角函数:⑴反正弦函数y?arcsinx是奇函数,故arcsin(?x)??arcsinx,x???1,1?(一定要注明定义域,若x????,???,没有x与y一一对应,故y?sinx无反函数) 注:sin(arcsinx)?x,x???1,1?,arcsinx????,??.
?22???⑵反余弦函数y?arccosx非奇非偶,但有arccos(?x)?arccos(x)???2k?,x???1,1?. 注:①cos(arccosx)?x,x???1,1?,arccosx??0,??.
②y?cosx是偶函数,y?arccosx非奇非偶,而y?sinx和y?arcsinx为奇函数. ⑶反正切函数:y?arctanx,定义域(??,??),值域(?arctan(?x)??arctanx,x?(??,??). 注:tan(arctanx)?x,x?(??,??).
?? ,),y?arctanx是奇函数,
22⑷反余切函数:y?arccotx,定义域(??,??),值域(???22,),y?arccotx是非奇非
偶.
arccot(?x)?arccot(x)???2k?,x?(??,??). 注:①cot(arccotx)?x,x?(??,??).
②y?arcsinx与y?arcsin(1?x)互为奇函数,y?arctanx同理为奇而y?arccosx与y?arccotx非奇非偶但满足arccos(?x)?arccosx???2k?,x?[?1,1]arccotx?arccot(?x)???2k?,x?[?1,1].
⑵ 正弦、余弦、正切、余切函数的解集:
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