内容发布更新时间 : 2024/10/16 20:24:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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求函数值域问题—7类题型16种方法

一、函数值域基本知识

1．定义：在函数

中，与自变量x的值对应的因变量y的

值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域（或函数值的集合）。

2．确定函数的值域的原则 ①当函数的集合；

②当函数

用图象给出时，函数的值域是指图象在y轴上用表格给出时，函数的值域是指表格中实数y

的投影所覆盖的实数y的集合；

③当函数

用解析式给出时，函数的值域由函数的定义域

及其对应法则唯一确定；

④当函数意义确定。

二、常见函数的值域，这是求其他复杂函数值域的基础。

函数的值域取决于定义域和对应法则，不论采用什么方法球函数的值域均应考虑其定义域。 一般地，常见函数的值域： 1.一次函数2.二次函数当

时的值域为

的值域为R.

，当.，

时的值域为

，

由实际问题给出时，函数的值域由问题的实际

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3.反比例函数4.指数函数5.对数函数

的值域为

的值域为的值域为R.

. .

6.正，余弦函数的值域为三、求解函数值域的7类题型 题型一：一次函数1、一次函数： 2、一次函数

，正，余切函数的值域为R.

的值域（最值）

当其定义域为，其值域为；

在区间上的最值，只需分别求出

，并比较它们的大小即可。若区间的形式为或

等时，需结合函数图像来确定函数的值域。 题型二：二次函数1、二次函数

2、二次函数首先判定其对称轴（1）若

,则当

值为

在区间与区间时，

上的值域(最值) 的位置关系

是函数的最小值，最大中较大者；当

时，

中较

的值域（最值）

， 当其 定义域为时，其值域为

是函数的最大值，最大值为

小者。

（2）若（小）值。

特别提醒：

,只需比较

的大小即可决定函数的最大

①若给定区间不是闭区间，则可能得不到最大（小）值；

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②若给定的区间形式是图像来确函数的值域；

等时，要结合

③当顶点横坐标是字母时，则应根据其对应区间特别是区间两端点的位置关系进行讨论。 例1：已知

。 例2：已知

，且

，则

的值域为

。

题型三：一次分式函数的值域 1、反比例函数2、形如： （1）若定义域为（2）若

的定义域为的值域：

时，其值域为

，然后利用，值域为

的定义域为

，则

的定义域为

时，我们把原函数变形为

（即的有界性），便可求出函数的值域。

例3：函数其值域为 例4：当已知例5：函数其值域为

的值域

的值域为 。 时，函数，且的值域为

的值域 ，则

。 （2）

。 ，

；若

时，

的值域为

；若

题型四：二次分式函数

一般情况下，都可以用判别式法求其值域。但要注意以下三个问

题： ①检验二次项系数为零时，方程是否有解，若无解或是函数无意义，都应从值域中去掉该值；②闭区间的边界值也要考查达到该值时的是否存在；③分子、分母必须是既约分式。