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数学文化课程报告

欧拉公式的证明与应用

一 .序言------------------------------------------------------------------------2 二.欧拉公式的证明--------------------------------------3

1.1 极限法 --------------------------------------3 1.2 指数函数定义法-------------------------------4 1.3 分离变量积分法-------------------------------4 1.4 复数幂级数展开法-----------------------------4 1.5 变上限积分法---------------------------------5

1.6 类比求导法-----------------------------------7 三.欧拉公式的应用

2.1 求高阶导数-----------------------------------7

2.2积分计算------------------------------------8 2.3高阶线性齐次微分方程的通解------------------9 2.4求函数级数展开式----------------------------9 2.5三角级数求和函数----------------------------10 2.6傅里叶级数的复数形式-------------------------10 四.结语------------------------------------------------11 参考文献-----------------------------------------------11

一．序言

欧拉是十八世纪最杰出的最多产的数学家之一[1]，留下了数不胜数的以其名字命名的公式。

ix本文关注的欧拉公式e?cosx?isinx，在复数域中它把指数函数联系在一起。特别当x??i?e?1?0，这个等式将最富有特色的五个数0,1,i,e,?绝妙的联系在一时,欧拉公式便写成了

起，“1是实数的基本单位，i是虚数的基本单位，0是唯一的中性数，他们都具有独特的地位，

都具有代表性。i源于代数，?源于几何，e源于分析，e与?在超越数之中独具特色。这五个数看来是互不相关的数，居然和谐的统一在一个式子中。”[2]公式ei??1?0成为人们公认的

优美公式，被视为数学美一个象征。这充分揭示了数学美的统一性、简洁性、奇异性等美学特性，了解这些丰富的数学文化内容，对于通过高等数学学习提高大学生的综素质、提高数学教育质量具有重要意义。

二. 欧拉公式的证明

ix欧拉公式e?cosx?isinx有广泛而重要的应用，关于该公式的证明方法目前有如下六种：

首先，欧拉本人是从数学中两个重要极限出发，采用初等方法“推导”出这个公式的；其次是dexdlnx1[3]

?ex出发，复指数函数定义法；另外从对数函数特征性质利用微分方程分离?或dxdxx[2]

变量积分法；再者采用复数幂级数展开式法来验证；再其次采用变上限积分法验证；最后利

[3]