内容发布更新时间 : 2024/12/25 17:21:30星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

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第七章 微分方程

§ 1 微分方程的基本概念

1、由方程x2-xy+y2=C所确定的函数是方程（ ）的解。

A. (x-2y)y?=2-xy B.(x-2y)y?=2x-y C.(x-2)dx=(2-xy)dy D.(x-2y)dx=(2x-y)dy 2、曲线族y=Cx+C2 (C为任意常数) 所满足的微分方程 （ ） A. y=xy?+y?2 B.y=Cx+y?2 C. xy?+y?2=C D. y?=xy?+y?2

3如函数满足初始条件：y=(C1+C2x)e2x , y|x=0=0 , y?|x=?=1，则C1,C2的值为（ ） A. C1=0 , C2=1 B. C1=1 , C2=0 C. C1=? , C2=0 D. C1=0 , C2=?

14.微分方程y?=写成以y为自变量，x为函数的形式为（ ）

2x?ydy1dx1?? A. B. C. x?=2x-y D. y?=2x-y dx2x?ydy2x?y5. 已知某初值问题的解为y=C1sin(x-C2) y|x=?=1,y?|x=?=0, 确定C1, C2 解：y=C1sin(x-C2), y?=C1cos(x-C2)

?代入y|x=?=1,y?|x=?=0得C1=1,C2=2k?+

26 .设物体A从点(0,1)出发，以速度大小为常数v沿y轴正向运动。物体B从点 (-1,0)与A同时出发，其速度大小为2v,方向始终指向A，试建立物体B的运动轨迹满足的微分方程，并写出初始条件。 解：设在时刻t，物体B位于(x,y)处，则 dyy?(1?vt) ?dxxd2ydt1 整理可得：x2??v ○

dxdxds?dy?dx?1???而2v? dtdxdt??2dt1?dy?2 ?1??? ○dx2vdx??其中s表示B的运动轨迹的曲线的弧长。 有

d2y1?dy?2代入○1得：x2?1????0 将○

dx2?dx?初始条件：y(-1)=0, y?(-1)=1 §2 可分离变量的微分方程 1.方程P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0是（ ）

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A.可分离变量的微分方程 B.一阶微分方程的对称形式。

dxQ(x,y)?? C.不是微分方程 D.不能变成 dyP(x,y)2、方程xy?-ylny=0的通解为（ ） A y=ex B. y=Cex C.y=ecx D.y=ex+C 3、方程满足初始条件：y?=e2x-y , y|x=0=0的特解为（ ）

e2x?11y2x

A. e=e+1 B. y?ln C. y=lne2x+1-ln2 D. ey=e2x+C

22y4、已知y=y(x)在任一点x处的增量?y??x??，且当?x?0时，?是?x 21?x 的高阶无穷小，y(0)=?,则y(1)=( ) A. 2? B. ? C. e D. ?e?4?4

5、求 特解 cosx sinydy=cosy sinxdx ， y|x=0=

? 4解：分离变量为tanydy=tanxdx

即-ln(cosy)=-ln(cosx)-lnC cosy=ccosx

2?代入初始条件：y|x=0=得：C?

24特解为：2cosy=cosx

dy1x?y?cos?x?y??cos6、求微分方程满足y(0)=?的特解。 dx22dyx?yx?ydyx解：由?cos?cos?0得：??sin

ydx2222sin2yyx积分得：lncsc?cot?2cos?C

2x2代入初始条件：y(0)=?，得C= -2

7、求微分方程yy?e?0满足y(0)=0的特解

8、子弹以速度v0=400m/s打进厚度为h=20cm的墙壁，穿透墙壁后速度为

100m/s飞出。假定墙壁对于子弹的阻力和子弹运动速度平方成正比，求子弹穿透墙壁所用的时间。

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解：设在时间t=0时，子弹打进墙壁v(t)表示子弹在t时刻速度。子弹在墙

dv1壁中的运动所受阻力kv2(k为常数)由牛顿第二定律得： 又??kv2v?dtkt?C1v(0)=v0=400.解得C=

400400 v?400kt?1可设子弹穿透墙壁所用时间为T，且墙壁后h=20cm,知?v(t)dt?0.2

0T400dt11T??ln(400kt?1)?0?ln(400kT?1)?0.2

00400kt?1kk0.2k

e=400kT+1 (*)

由题设知：子弹在时刻T时，飞出墙壁，且速度为100m/s，即

400v(T)??100，得400kT=3，代入(*)得：k=10ln2，即

400kT?13 T?400ln2 §3 齐次方程

1 .(x2+y2)dx-xydy=0，其通解为（ ） A. y2=x2(2ln|x|+C) B. y=x(2ln|x|+C) C. y2=2x2ln|x|+C D. y=2xln|x|+C

xy2.y???, y|x=1=2，则特解为（ ）

yx A. y2=2x2(lnx+C) B.y2=2x2(lnx+2) C .y=2xlnx+C D.y=2xlnx+2 xx???x?y1?dy?0的通解为（ ） ?3.?1?2e?dx?2ey?????y????即：?v(t)dt??TT A. x=2y+C B. xye?2 C.x?2ye?C D.以上都不对

4、求y?x2+xy=y2满足y|x=1=1的特解。

xyxyyy?y?解：y?????,令?u，则

xx?x?dudx2x?解得：y? 2u(u?2)x1?x5、求微分方程(x2+2xy-y2)dx-(y2+2xy-x2)dy=0满足初始条件y|x=1=1的特解

dyx2?2xy?y2y?2,令u?解： 2dxy?2xy?xx2精品文档