内容发布更新时间 : 2024/12/27 14:30:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

《高等数学》（理工类） 1.设y?f(x)的定义域为(0,1]，?(x)?1?lnx，则复合函数y?f[?(x)]的定义域为________；0?lnx?1,x?[1,e) 2.已知x?0?时，arcta与xnax是等价无穷小，则a?______；cosxarctan3x3??1,a?3；

x?0axasin2x?13．函数y??cos，则dy?________；2(2cos2x?sin2x)dx；

x6xlim4．函数y?xe?x?2的拐点为____________；y???e(x?2)?0,x?2，(2,2e)

?x??sinx,x??2 ，当a=____时，f(x)?5．设函数???a?x,x?2?yf(x) 在x??2处连续；1??2；

6. 设y?y(x)是由方程e?xy?2?0所确定的隐函数，则y??__；7．函数f(x)?1?y ye?x11?ex1?x的跳跃间断点是______；f(1)?0,f(1)?1,x?1；

10??8．定积分

??1(1?x2?sinx)dx＝________；2?1?x2dx??2

9．已知点空间三个点M(1,1,1),A(2,2,1),B(2,1,2),则?AMB= _______；?3； 10．已知a?(2,3,1)b?(1,2,3)，则a?b＝_________。(7，?51)， 二、计算题（每小题6分，共42 分）

ln(1?x2)1?1．求极限lim。

x?0arcsin2x223sin2xesin?02．求极限=limlimx?sinxx?01?cosxx?0x2sin3xetdt3x?6

dydy3．设y?e?sinx,求?ex.。

dxdx2(2xsinx?cosx)

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??x?ln1?t2dyd2y4、设? 求以及2。

dxdx??y?arctant11dy1?t21d2y1?t22解 x?ln(?1t，)??，2??3

t2dxtdxt21?tln(lnx)5．计算不定积分?dx。

x1解 ?ln(lx ?lnx(ln(xln?)?1)Cnd)lx?nlnxln(lxn??)dxx1se2cx11dx??6、计算不定积分?dx?d3tanx22?23?coxs3sexc?133tanx?4?3taxnarctan?C

22317．计算定积分

1?201?x(x?4)2dx??(1?x)(4?x)dx??(1?x)(4?x)dx

01212??(x?5x?4)dx??02115x35x2)(x?5x?4)dx???4?(?3232221?4?3

三、证明题（每小题8分，共16 分） 1、设

f(x)在区间[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且f(0)?f(1)?f(2)?3，

f(3)?1，试证必存在??(0,3)使f?(?)?0。

证明 因为f(x)在[0,3]上连续，所以f(x)在[0,2]上连续，且在[0,2]上有最大值M和最小值m。于是 m?f(0)?M,m?f(1)?M,m?f(2)?M,

f(0)?f(1)?f(2)?M, 由介值定理知至少存在c?[0,2]，使f(c)?1。

3 因为f(c)?f(3)?1，且f(x)在[c,3]上连续，在(c,3)内可导，由罗尔定理存在

所以 m???(c,3)?(0,3)，使 f?(?)?0 。

2、证明不等式：当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2 。

证明 f(x)?1?xln(x?1?x2)?1?x2，f?(x)?ln(x?1?x2)?0,x?0，

f(x)?f(0)?0，则当x?0时，1?xln(x?1?x2)?1?x2

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四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）

1．要建造一个体积为V?50m3的圆柱形封闭的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所．．用的材料最省？

解 设圆柱体的半径为r，高h?501002，表面积为,， SS?2?r?2r?rS??4?r?100?0，r?2r325?，h?2325?表面积最小。

2．求曲线xy?a(a?0)，直线x?a，x?2a及x轴所围成的图形绕得到的旋转体体积。 解 Vy?2?a

y轴旋转一周所

?2aadx?2?a2

《高等数学》（理工）

一、 选择题（每空 3 分，共 15 分）

1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（ ）；D；

A、2?x?1(x???)； B、

x2sinx(x?0) xx2(x?0)。 (x??)； D、C、3x?1x?2x?1?ax2x?22、设函数f(x)??在x?2处连续,则a?（ ）；A；

x?2?111A、； B、0； C、； D、1、

42x3、设f(x)在[a,b]上可导，且f?(x)?0.若?(x)??f(t)dt，则下列说法正确的是（ ）；

0C；

A、?(x)在[a,b]上单调减少； B、?(x)在[a,b]上单调增加；

C、?(x)在[a,b]上为凹函数； D、?(x)在[a,b]上为凸函数。

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4、下列不定积分计算正确的是（ ）；D；

A、?x2dx?x3?c； B、?11dx??c； 2xxC、?sinxdx?cosx?c； D、?cosxdx?sinx?c。

5、设f(x)在[a,b]上连续，则下列论断不正确的是（ ）。A；

. B、A、?f(x)dx是f(x)的一个原函数；?f(t)dt在(a,b)内是f(x)的一个原函数.；

aabxC、?f(t)dt在(a,b)内是?f(x)的一个原函数； D、f(x)在(a,b)上可积。

xb二、填空题（每空 3 分，共 15 分） 6、若limf(x)?2,则lim(x?1?x??

2x??x2?1)f(x)? ；2lim1x?1?x?122x???0；

7、曲线y?x2?1在点(3,2)的切线方程为：____ ____；y?2?3(x?3)； 28、曲线y?sinx在(0,2?)内的拐点为 ；(?,e)； 9、当p满足条件__________时,反常积分

43???1dx收敛； p?1； xp10、微分方程(y??)?(y?)?2y?x?1的阶数是_________.2； 三、计算题（共 45 分）

11、求下列函数极限(每题6分，共12分)： (1) limx?0x?1?11?

sin3x6x0(2)

?limx?0sint2dtx3sinx21?lim? x?03x231?ln5,求y? ； x?1第 4 页 共 18 页

12、求下列函数导数（每题6分，共12分）： (1) 设函数y?xetanx?解 y??etanx(1?xsec2x)?1 2(x?1)(2)设函数y?f?x? 由方程 2x?y?lny?4x?0 所确定，求 5y?(5,1)；

3y?4?y?解 ??， 将x?5,y?1代入得 (5,1)5y5x?y1?y?13、求下列函数积分（每题7分，共21分）： (1)

??e1x1?x2dx?1?x2?C

12e2?11)?(e2?1) xdx)?(e?224(2)

1e1xlnxdx??lnxdx2?(x2lnx21225e1??e1(3)1?x2dx? (1?x?xcosx?x)dx?202 ?1四、证明题(每小题 8分，共 16 分）

?1?1?14、证明：设ln(x?1)?arctanx1?xx?0

1?0

1?x2证明 设f(x)?(x?1)(1?lnx)?arctanxx?0，f(x)?(1?lnx)?1?则f(x)?f(0)?0，ln(x?1)?arctanx1?xx?0

15、设f(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且f(1)?0，求证在(0,1)内至少存在一点

?,使得3f(?)??f?(?)?0成立.

证明 设F(x)?xf(x)在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且F(0)?F(1)?0，y由罗尔

23中值定理得 F(?)?3?f(?)??f?(?)?0，即有 3f(?)??f?(?)?0

3五、应用题（共9分）

16、求曲线y?x与过该曲线上的点(4,2)的切线及y轴所围成的图形的面积S. 解 2yy??1， y?(4,2)2?111，切线方程 y?2?(x?4，)y?x?1 444第 5 页 共 18 页