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2019.5

等比数列与等差数列概念及性质对比

1．数列的定义

顾名思义，数列就是数的序列，严格地说，按一定次序排列的一列数叫做数列． 数列的基本特征是：构成数列的这些数是有序的．

数列和数集虽然是两个不同的概念，但它们既有区别，又有联系．数列又是一类特殊的函数．

2．等差数列的定义

顾名思义，等差数列就是“差相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数的数列，叫做等差数列．

这个定义的要点有两个：一是“从第2项起”，二是“每一项与它的前一项的差等于同一个常数”．这两个要点，刻画了等差数列的本质．

3．等差数列的通项公式

等差数列的通项公式是：an= a1＋（n－1）d ． ①

这个通项公式既可看成是含有某些未知数的方程，又可将an看作关于变量n的函数，这为我们利用函数和方程的思想求解问题提供了工具．

从发展的角度看，将通项公式①进行推广，可获得更加广义的通项公式及等差数列的一个简单性质，并由此揭示等差数列公差的几何意义，同时也可揭示在等差数列中，当某两项的项数和等于另两项的项数和时，这四项之间的关系．

4．等差中项

A称作a与b的等差中项是指三数a，A，b成等差数列．其数学表示是：

A?a?b，或2 A=a＋b． 2a?b）是判断三数a，A，b成等差2显然A是a和b的算术平均值． 2 A=a＋b（或A?数列的一个依据，并且，2 A=a＋b（或A?a?b）是a，A，b成等差数列的充要条件．由此2得，等差数列中从第2项起，每一项（有穷等差数列末项除外）都是它的前一项与后一项的

等差中项．

值得指出的是，虽然用2A=a＋b（或A?a?b）可同时判定A是a与b的等差中项及A2是b与a的等差中项，但两者的意义是不一样的，因为等差数列a，A，b与等差数列b，A，a不是同一个数列．

5．等差数列前n项的和

等差数列前n项和的公式是：Sn?或 Sn?na1?n?a1?an?， ① 2

②

n?n?1?d 2公式①和②均可看作方程．事实上，公式①和②中均含有四个量，若知其中任意三个量的值，便可通过解方程的办法求一个量的值．若将前n项和的公式与通项公式结合起来看，共有五个量，通常知道其中的任意三个量的值，通过解方程组就可求出其余的两个量的值．

公式①的结构形式与梯形的面积公式是一致的，这可由教材中码放钢管的示意图得到印证．

公式②中的Sn也可看作关于变量n的二次式（d≠0时），其图像是在二次函数：

y?d2?d?x??a1??x的图像上当x取1，2，3，…时所对应的那群孤立点．这为我们利用函22??数的观点求解等差数列前n项和Sn的最大值或最小值问题提供了直观的背景．

6．等比数列的定义

顾名思义，等比数列就是“比值相等”的数列．严格地说，从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数的数列，叫做等比数列．

和等差数列类似，这个定义也有两个要点：一是“从第2项起”，二是“每一项与它前一项的比等于同一个常数”．它们刻画了等比数列的本质．

7．等比数列的通项公式 等比数列的通项公式是：an= a1q

n－1

． ①

这里，一方面，可将an看作是n的函数，另一方面公式本身也可视为一个方程．从发展的角度看，将公式①进行适当推广，便可得更加广义的通项公式及等比数列的一个简单性质．

8．等比中项

G称作a与b的等比中项是指三数a，G，b，成等比数列．其数学表示是

G??ab，或 G2=ab．

显然，只有同两数才有等比中项；若两数有等比中项，若两数有等比中项，则必有两个，它们是一对互为相反数；一个等比数列从第2项起，每一项（有穷等比数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等比中项．

9．等比数列前n项的和

?na1?等比数列前n项和的公式是：Sn??a11?qn?1?q????q?1?,?q?1?.

a11?qn公式Sn?可视为一个方程，它含有四个量．若已知其中任意三个量的值，便

1?q可通过解方程求出另一个量的值．

??a11?qn公式Sn?

1?q即Sn???a1qn?1． q?1??从函数的观点看，Sn是关于q的一次式， 因此点（q，Sn）在直线y?

n

n

a1?x?1?上． q?1