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正交矩阵与正交变换的性质及应用

程祥

河南大学数学与信息科学学院 开封 475004

摘要 矩阵是数学中的重要概念，是代数学重要研究对象之一，也是数学与其他领域研究与应用的一个重要工具，而正交矩阵作为一类特殊且常用的矩阵，在矩阵论中占有重要地位，且应用非常广泛，因此对正交矩阵的探讨具有十分重要的意义.本文主要对正交矩阵的性质及结论进行归纳总结，并对相关性质进行推广. 关键词:正交矩阵;正交变换;性质

1.1 正交矩阵的的定义及其判定

定义1 n阶实矩阵A, 若满足A'A?E, 则称A为正交矩阵. 性质1 A为正交矩阵?A'?A?1. 性质2 A为正交矩阵??i'?j???1,i?j,?0,i?j,i,j?1,2,?,n.?i为A的列向量.

性质

?1,i?j,'???i?j?1,2,...n?3 A为正交矩阵?ij?0,i?j,.?i为A的行向量.

1.2 正交矩阵的性质

性质1[3] 若A为正交矩阵则A?1,A',A*均为正交矩阵. 证明 有A'(A')'?(A'A)'?E,A?1(A?1)'?(A'A)?1?E,

A(A)?(AA)?E**''*,

可得

A,A,A?1'*均为正交矩阵.

性质2 若A为正交矩阵则det(A)?1或?1 证明 对A'A?E两边同取行列式,

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可得

(det(A))?1,

2 故

det(A)?1或?1.

性质3[4] 若A,B为正交矩阵，则AB也为正交矩阵. 证明 有(AB)(AB)'?ABB'A'?AA'?E, 可得

AB为正交矩阵.

性质4 正交矩阵的特征值的模为1.

证明 设A为正交矩阵，复数?为其任一特征值X为其对应的特

征向量，即AX??X，X?0

两边取转置

XA??X'''，

由此得

XAAX??X?X''',

有A'A?E可得

XX??XX'2',

从而??1.

性质5 正交矩阵的实特征值为?1.

性质6[5] 行列式为1的奇数阶正交矩阵必有特征值1. 证明 设A为n阶正交矩阵且det(A)?1，n为奇数 则

E?A?AA?A?(?1)E?A?(?1)(E?A)'n'n'

?(?1)nE?A??E?A, 故

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E?A?0,

即A有特征值1.

性质7 行列式为?1的正交矩阵必有特征值?1. 证明 设A为正交矩阵且det(A)??1 则

E?A?AA?A?AE?A?A(E?A)'''

??E?A, 故

E?A?0,

即

A有特征值?1.

性质8[6] 设?为正交矩阵A的特征值，则??1也为A的特征值. 证明 因?为A的特征值

故存在特征向量?使得A???? 从而

AA??A??'',

得

A????'?1,

即??1为A'的特征值, 从而

?也为A的特征值.

?1性质9[8] 设A为一n阶正交矩阵，有一特征值为??i?(??0)，相应的特征向量为x?iy，则x'x?y'y,xy'?0. 证明 有A(x?iy)?(??i?)(x?iy), 得

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