内容发布更新时间 : 2024/12/25 13:54:05星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

数值分析作业(1)

1：思考题（判断是否正确并阐述理由）

（a）一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。 (b)无论问题是否病态，好的算法都会得到它好的近似解。 (c)计算中使用更高的精度，可以改善问题的病态性。

(d)用一个稳定的算法计算一个良态问题，一定会得到他好的近似解。 (e)浮点数在整个数轴上是均匀分布。 (f)浮点数的加法满足结合律。 (g)浮点数的加法满足交换律。 (h)浮点数构成有效集合。

(i)用一个收敛的算法计算一个良态问题，一定得到它好的近似解。 √ 2: 解释下面Matlab程序的输出结果 t=0.1; n=1:10; e=n/10-n*t

3：对二次代数方程的求解问题

ax2?bx?c?0

有两种等价的一元二次方程求解公式

?b?b?4acx?2a2c

x?2?b?b?4ac 对

2

a=1，b=-100000000，c=1，应采用哪种算法？

4：函数sinx的幂级数展开为：

x3x5x7???? sinx?x?3!5!7! 利用该公式的Matlab程序为 function y=powersin(x)

% powersin. Power series for sin(x)

% powersin(x) tries to compute sin(x)from a power series

s=0; t=x; n=1;

while s+t~=s; s=s+t;

t=-x^2/((n+1)*(n+2))*t n=n+2; end

（a） 解释上述程序的终止准则；

（b） 对于x=?/2、x=11?/2、x =21?/2，计算的精度是多少？分别需

要计算多少项？

5:指数函数的幂级数展开

23xxxe?1?x????

2!3!

根据该展开式，编写Matlab程序计算指数函数的值，并分析计算结果（重点分析x?0的计算结果）。

数值分析作业（2）

思考题

1：判断下面命题是否正确并阐述理由

（a） 仅当系数矩阵是病态或奇异的时候，不选主元的Gauss消元法才会失败。

(b) 系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的； (c) 两个对称矩阵的乘积依然是对称的；

(d) 如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异； (e) 两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵； (f) 一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵； (g) 一个奇异矩阵不可能有LU分解； (h) 奇异矩阵的范数一定是零； (i) 范数为零的矩阵一定是零矩阵；

（j） 一个非奇异的对称阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。 2: 全主元Gauss消元法与列主元Gauss消元法的基本区别是什么？它们各有什么优点？

3：满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？ （a）矩阵的行列式小； （b）矩阵的范数小； （c）矩阵的范数大； （d）矩阵的条件数小； （e）矩阵的条件数大； （f）矩阵的元素小；

4: 分析Jacobi迭代法和Gauss_Seidel迭代法，回答下列问题：

(a): 它们的主要区别是什么？ （b）：哪种方法更适合于并行计算？ (c): 哪种方法更节省存储空间？ (d): Jacobi方法是否更快？

计算题：

?2?100???12?10??，试求A的Cholesky分解 1：对矩阵A???0?12?1???00?12??

?12?2??2?11??,A??222? 1112:对矩阵A1????2?????221????1?12??证明：求解以A1为系数矩阵的线性方程组，Jacobi迭代是收敛的，而Gauss-Seidel方法是发散的；求解以A2为系数矩阵的线性方程组，Jacobi迭代是发散的，而Gauss-Seidel方法是收敛的。 3：对矩阵

?1aa?

? a1a ???

??aa1??

（a） 参数a取什么值，矩阵是正定的？

（b）参数a取什么值时，求解以A为系数矩阵的线性方程组，

Jacobi迭代是收敛的？