内容发布更新时间 : 2024/5/2 14:59:48星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
（Ⅱ）确定∠DOB为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角，再求异面直线AB1与BC1所成的角．
解答： （Ⅰ）证明：连结CB1交BC1于点O， ∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴侧面BB1C1C是矩形，
∴O为B1C的中点，且D是棱AC的中点，∴AB1∥OD，…（4分） ∵OD?平面BC1D，AB1?平面BC1D，
∴AB1∥平面BC1D …（6分）
（Ⅱ）解：∵AB1∥OD，∴∠DOB为异面直线AB1与BC1所成的角或其补角．…（8分） ∵∠ABC=
，AB=BC=BB1=2，
∴BD=，OD=，OB=，
∴△OBD为等边三角形，∴∠DOB=60°，
∴异面直线AB1与BC1所成的角为60°．…（12分）
点评： 本题考查线面平行，考查线线角，考查学生分析解决问题的能力，解题的关键是正确运用线面平行的判定定理．
19．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB=4，AD=2PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）点Q为线段PB的中点，求直线QC与平面PAC所成角的正弦值．
，CD=2，
考点： 直线与平面所成的角；直线与平面垂直的判定． 专题： 计算题；证明题；空间位置关系与距离；空间角．
分析： 方法一、运用空间直角坐标系的坐标法解决．以A为原点，AB，AD，AP为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，得到向量BD，AC，AP的坐标，运用数量积为0，得到BD⊥AP，BD⊥AC，进而证得（Ⅰ）；
再由平面PAC的一个法向量为，运用向量的夹角公式，即可得到直线QC与平面PAC所成
角的正弦值．
方法二、通过平面几何中勾股定理的逆定理，计算得到BD⊥AC，再由线面垂直的性质和判定定理，即可得证（Ⅰ）；连PO，取PO中点H，连QH，由QH⊥平面PAC，得到∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角．再解三角形 QCH，即可得到所求值． 解答： （法一）（Ⅰ）证明：以A为原点，建立空间直角坐标系，如图， B（4，0，0），D（0，2，0），P（0，0，4），A（0，0，0）， C（2，2，0），Q（2，0，2）， 则
=（﹣4，2=（0，2∴
，0），
=（0，0，4），
=（2，2
，0），
，﹣2），
=0，
=0，
∴BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A， ∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面PAC的一个法向量为设直线QC与平面PAC所成的角为θ， 则sin
=
=
，
=（﹣4，2
，0），
所以直线QC与平面PAC所成的角的正弦值为（法二）（Ⅰ）证明：设AC∩BD=O，
∵CD∥AB，∴OB：OD=OA：OC=AB：CD=2， Rt△DAB中，DA=2同理，OA=CA=
，AB=4，∴DB=2
2
2
2
．
，∴DO=DB=，
，∴DO+OA=AD，即∠AOD=90°，∴BD⊥AC，
又PA⊥平面ABCD，∴PA⊥BD，
由AC∩PA=A，∴BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）解：连PO，取PO中点H，连QH，则QH∥BO， 由（Ⅰ）知，QH⊥平面PAC
∴∠QCH是直线QC与平面PAC所成的角． 由（Ⅰ）知，QH=BO=
，
取OA中点E，则HE=PA=2，又EC=OA+OC=Rt△HEC中，HC=HE+EC=
2
2
2
∴Rt△QHC中，QC=2，∴sin∠QCH=， ．
∴直线QC与平面PAC所成的角的正弦值为
点评： 本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的判定和性质及运用，考查线面所成的角的求法，考查运算能力，属于中档题．
20．（12分）已知椭圆C：
+
=1（a＞b＞0）的右焦点F（
，0），且椭圆C经过点P（
，
）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设过点F的直线l交椭圆C于A，B两点，交直线x=m（m＞a）于M点，若kPA，kPM，kPB成等差数列，求实数m的值．
考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．
专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由题意可得，解除即可；
（2）设直线l：y=k（x﹣
2
2
），A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，ym），将直线方程代入椭
2
2
圆方程x+4y=4中，得（1+4k）x﹣8得km的方程，消掉k可求m；
x+12k﹣4=0，利用斜率公式及等差中项公式可
2
解答： 解：（1）由题意，得，解得a=4，b=1，
22
∴椭圆C的方程为（2）设直线l：y=k（x﹣
2
．
），A（x1，y1），B（x2，y2），M（m，ym），
2
2
2
将直线方程代入椭圆方程x+4y=4中，得（1+4k）x﹣8x+12k﹣4=0，
2
则x1+x2=
，，
此时∴kPA+kPB=+ =2k﹣
=k﹣，=k﹣，
=2k﹣
=2k﹣．
，
又M（m，ym）在直线l上，∴
则=k﹣．
∵kPA，kPM，kPB成等差数列， ∴2kPM=kPA+kPB，则2k﹣
=2k﹣
，解得m=
．
点评： 本题考查椭圆的方程性质、直线与椭圆的位置关系、等差中项及斜率公式，考查学
生的运算求解能力．
21．（12分）如图所示的几何体中，四边形ABCD是菱形，ADMN是矩形，平面ADMN⊥平面ABCD，∠DAB=
，AD=2，AM=1，E是AB的中点．
（Ⅰ）求证：DE⊥NC；
（Ⅱ）求三棱锥E﹣MDC的体积．
考点： 直线与平面垂直的性质；棱柱、棱锥、棱台的体积． 专题： 综合题；空间位置关系与距离．
分析： （Ⅰ）证明DE⊥DC，ND⊥DE，可得DE⊥平面NDC，即可证明DE⊥NC；
（Ⅱ）由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD，利用VE﹣MDC=VM﹣EDC，可得结论． 解答： （Ⅰ）证明：菱形ABCD中，AD=2，AE=1，∠DAB=60o，∴DE=．
222
∴AD=AE+DE，即∠AED=90°，∵AB∥DC，∴DE⊥DC …①…（2分）
∵平面ADNM⊥平面ABCD，交线AD，ND⊥AD，ND?平面ADNM，∴ND⊥平面ABCD， ∵DE?平面ABCD，∴ND⊥DE …②…（4分）
由①②及ND∩DC=D，∴DE⊥平面NDC，…（6分） ∴DE⊥NC． …（8分）
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）及ND∥MA知，MA⊥平面ABCD． ∴VE﹣MDC=VM﹣EDC=
=
=
．…（12分）
点评： 本题考查线面垂直，考查三棱锥E﹣MDC的体积，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
22．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣m=0，椭圆C：
2
+y=1的左、右焦点分别为F1，
2
F2，
（Ⅰ）当直线l过F2时，求m的值；
（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A，B两点，△AF1F2、△BF1F2的重心分别为G、H，若原点在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．
考点： 直线与圆锥曲线的关系．
专题： 综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （Ⅰ）把F2代入直线方程求得m，则直线的方程可得．