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八年级数学下册复习讲义
第十六章 二次根式
知识点一:二次根式的概念
【知识要点】 二次根式的定义:形如非负数时,
才有意义.
的式子叫二次根式,其中叫被开方数,只有当是一个
【典型例题】
题型一:二次根式的判定
【例1】下列各式1)1,2)?5,3)?x2?2,4)4,5)(?1)2,6)1?a,7)a2?2a?1,
53其中是二次根式的是_________(填序号).
题型二:二次根式有意义 【例2】若式子1有意义,则x的取值范围是 . x?3题型三:二次根式定义的运用
【例3】若y=x?5+5?x+2009,则x+y= . 题型四:二次根式的整数与小数部分
已知a是5整数部分,b是5的小数部分,求a?
知识点二:二次根式的性质
【知识要点】
1. 非负性:a(a?0)是一个非负数.
注意:此性质可作公式记住,后面根式运算中经常用到. 2. (1的值. b?2a)2?a(a?0).
注意:此性质既可正用,也可反用,反用的意义在于,可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式:a?(a)2(a?0)
?a(a?0)2a?|a|? 3. ??a(a?0)? 注意:(1)字母不一定是正数.
(2)能开得尽方的因式移到根号外时,必须用它的算术平方根代替.
(3)可移到根号内的因式,必须是非负因式,如果因式的值是负的,应把负号留在根号外.
1
?a(a?0)2a?|a|? 4. 公式与(???a(a?0)a)2?a(a?0)的区别与联系
(1)a2表示求一个数的平方的算术根,a的范围是一切实数. (2)(a)2表示一个数的算术平方根的平方,a的范围是非负数. (3)a2和(a)2的运算结果都是非负的. 【典型例题】
题型一:二次根式的双重非负性 【例4】若
2a?2?b?3??c?4??0,a?b?c?则 .
题型二:二次根式的性质2 (公式(a)2?a(a?0)的运用) 【例5】 化简:a?1?(a?3)2的结果为( )
A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 题型三:二次根式的性质3 (公式a2?a???a(a?0)的应用)
?a(a?0)?【例6】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是( )
A、x?2
B、x?2
C、?x?2
D、2?x
知识点三:最简二次根式和同类二次根式
【知识要点】 1、最简二次根式:
(1)最简二次根式的定义:①被开方数是整数,因式是整式;②被开方数中不含能开得尽方的数或因式.
2、同类二次根式(可合并根式):
几个二次根式化成最简二次根式后,如果被开方数相同,这几个二次根式就叫做同类二次根式,即可以合并的两个根式。 【典型例题】
【例7】在根式1)a2?b2;2)x;3)x2?xy;4)27abc,最简二次根式是( ) 5 A.1) 2) B.3) 4) C.1) 3) D.1) 4)
知识点四:二次根式计算——分母有理化
【知识要点】 1.分母有理化
定义:把分母中的根号化去,叫做分母有理化.
2
2.有理化因式:
两个含有二次根式的代数式相乘,如果它们的积不含有二次根式,就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下:
①单项二次根式:利用a?a?a来确定,如:a与a,a?b与a?b,a?b与
a?b等分别互为有理化因式。
②两项二次根式:利用平方差公式来确定。如a?b与a?b,a?b与a?b,ax?by与ax?by分别互为有理化因式。
3.分母有理化的方法与步骤:
①先将分子、分母化成最简二次根式;
②将分子、分母都乘以分母的有理化因式,使分母中不含根式;
③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。
【典型例题】
【例8】 把下列各式分母有理化
(1)1 (2)?43 (3)11 (4)?148372123 550【例9】把下列各式分母有理化 (1)2x (2)8x3y8 (4)a22 (3)
x3?2xba?bb5 a5【例10】把下列各式分母有理化:
(1)2 (2)5?3 (3)33 2?132?235?3
小结:一般常见的互为有理化因式有如下几类: ①③
与
与
; ②
; ④
知识点五:二次根式计算——二次根式的乘除
【知识要点】
1.积的算术平方根的性质:积的算术平方根,等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a·b(a≥0,b≥0) 2.二次根式的乘法法则:两个因式的算术平方根的积,等于这两个因式积的算术平方根。 a·b=ab.(a≥0,b≥0) 3.商的算术平方根的性质:商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.
与
与
; .
aa=(a≥0,b>0) bb
3