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八年级数学下册复习讲义

第十六章 二次根式

知识点一：二次根式的概念

【知识要点】 二次根式的定义：形如非负数时，

才有意义．

的式子叫二次根式，其中叫被开方数，只有当是一个

【典型例题】

题型一：二次根式的判定

【例1】下列各式1）1,2)?5,3)?x2?2,4)4,5)(?1)2,6)1?a,7)a2?2a?1，

53其中是二次根式的是_________（填序号）．

题型二：二次根式有意义 【例2】若式子1有意义，则x的取值范围是 ． x?3题型三：二次根式定义的运用

【例3】若y=x?5+5?x+2009，则x+y= . 题型四：二次根式的整数与小数部分

已知a是5整数部分，b是5的小数部分，求a?

知识点二：二次根式的性质

【知识要点】

1. 非负性：a(a?0)是一个非负数．

注意：此性质可作公式记住，后面根式运算中经常用到． 2. (1的值. b?2a)2?a(a?0)．

注意：此性质既可正用，也可反用，反用的意义在于，可以把任意一个非负数或非负代数式写成完全平方的形式：a?(a)2(a?0)

?a(a?0)2a?|a|? 3. ??a(a?0)? 注意：（1）字母不一定是正数．

（2）能开得尽方的因式移到根号外时，必须用它的算术平方根代替．

（3）可移到根号内的因式，必须是非负因式，如果因式的值是负的，应把负号留在根号外．

1

?a(a?0)2a?|a|? 4. 公式与(???a(a?0)a)2?a(a?0)的区别与联系

（1）a2表示求一个数的平方的算术根，a的范围是一切实数． （2）(a)2表示一个数的算术平方根的平方，a的范围是非负数． （3）a2和(a)2的运算结果都是非负的． 【典型例题】

题型一：二次根式的双重非负性 【例4】若

2a?2?b?3??c?4??0，a?b?c?则 ．

题型二：二次根式的性质2 （公式(a)2?a(a?0)的运用） 【例5】 化简：a?1?(a?3)2的结果为（ ）

A、4—2a B、0 C、2a—4 D、4 题型三：二次根式的性质3 （公式a2?a???a(a?0)的应用）

?a(a?0)?【例6】已知x?2,则化简x2?4x?4的结果是（ ）

A、x?2

B、x?2

C、?x?2

D、2?x

知识点三：最简二次根式和同类二次根式

【知识要点】 1、最简二次根式：

（1）最简二次根式的定义：①被开方数是整数，因式是整式；②被开方数中不含能开得尽方的数或因式．

2、同类二次根式（可合并根式）：

几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式，即可以合并的两个根式。 【典型例题】

【例7】在根式1)a2?b2;2)x;3)x2?xy;4)27abc，最简二次根式是（ ） 5 A．1) 2) B．3) 4) C．1) 3) D．1) 4)

知识点四：二次根式计算——分母有理化

【知识要点】 1．分母有理化

定义：把分母中的根号化去，叫做分母有理化.

2

2．有理化因式：

两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含有二次根式，就说这两个代数式互为有理化因式。有理化因式确定方法如下：

①单项二次根式：利用a?a?a来确定，如：a与a，a?b与a?b，a?b与

a?b等分别互为有理化因式。

②两项二次根式：利用平方差公式来确定。如a?b与a?b，a?b与a?b，ax?by与ax?by分别互为有理化因式。

3．分母有理化的方法与步骤：

①先将分子、分母化成最简二次根式；

②将分子、分母都乘以分母的有理化因式，使分母中不含根式；

③最后结果必须化成最简二次根式或有理式。

【典型例题】

【例8】 把下列各式分母有理化

（1）1 （2）?43 （3）11 （4）?148372123 550【例9】把下列各式分母有理化 （1）2x （2）8x3y8 （4）a22 （3）

x3?2xba?bb5 a5【例10】把下列各式分母有理化：

（1）2 （2）5?3 （3）33 2?132?235?3

小结：一般常见的互为有理化因式有如下几类： ①③

与

与

； ②

； ④

知识点五：二次根式计算——二次根式的乘除

【知识要点】

1．积的算术平方根的性质：积的算术平方根，等于积中各因式的算术平方根的积。 ab=a·b（a≥0，b≥0） 2．二次根式的乘法法则：两个因式的算术平方根的积，等于这两个因式积的算术平方根。 a·b＝ab．（a≥0，b≥0） 3．商的算术平方根的性质：商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根.

与

与

； ．

aa=（a≥0，b>0） bb

3