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和绝对值有关的问题

知识定位 本讲义要求学生：

1. 理解绝对值的代数意义和几何意义以及绝对值的非负性 2．体会数形结合、分类讨论等重要的数学思想在解题中的应用

知识梳理 一、 知识结构框图：

数

二、 绝对值的意义：

(1)几何意义：一般地，数轴上表示数a的点到原点的距离叫做数a的绝对值，记作|a|。

(2)代数意义：①正数的绝对值是它的本身；②负数的绝对值是它的相反数；

③零的绝对值是零。

?a?当a为正数???也可以写成： |a|??0?当a为0?

????a?当a为负数?说明：（Ⅰ）|a|≥0即|a|是一个非负数；

（Ⅱ）|a|概念中蕴含分类讨论思想。

例题精讲 【试题来源】

【题目】已知a、b、c在数轴上位置如图：

则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c | 的值等于（ ） 【选项】A．-3a B． 2c－a C．2a－2b D． b 【答案】A

【解析】| a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |=-a-(a+b)+(c-a)+b-c=-3a

分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性，再根据绝对值的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。 此题的求解使用了数形结合思想。 【知识点】和绝对值有关的问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知：x?0?z，xy?0，且y?z?x， 那么x?z?y?z?x?y 的值（ ）

【选项】A．是正数 B．是负数 C．是零 D．不能确定符号 【答案】C

【解析】由题意，x、y、z在数轴上的位置如图所示：

所以

x?z?y?z?x?y

?x?z?(y?z)?(x?y)

?0

分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。这道例题中三个看似复杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了x、y、z三个数的大小关系，为我们顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问题的意识。 【知识点】和绝对值有关的问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】 【题目】已知甲数的绝对值是乙数绝对值的3倍，且在数轴上表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为8，求这两个数；若数轴上表示这两数的点位于原点同侧呢？ 【答案】（1）6和-2或-6和2；（2）12和4或-12和-4

【解析】分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧”意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该用分类讨论的数学思想解决这一问题。 解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：x?3y，

（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：

若x在原点左侧，y在原点右侧，即 x<0，y>0，则 4y=8 ，所以y=2 ,x= -6 若x在原点右侧，y在原点左侧，即 x>0，y<0，则 -4y=8 ，所以y=-2,x=6 （2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：

若x、y在原点左侧，即 x<0，y<0，则 -2y=8 ，所以y=-4,x=-12 若x、y在原点右侧，即 x>0，y>0，则 2y=8 ，所以y=4,x=12 此题的解答使用了分类讨论的思想。 【知识点】和绝对值有关的问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】2

【试题来源】

【题目】方程x?2008?2008?x 的解的个数是（ ） 【选项】A．1个 B．2个 C．3个 D．无穷多个

【解析】分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-2008看成一个整体，问题即转化为求方程a??a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到，负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。 【知识点】和绝对值有关的问题 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3

【试题来源】

【题目】已知|ab－2|与|a－1|互为相互数，试求下式的值．

111???ab?a?1??b?1??a?2??b?2??1?a?2007??b?2007??1

【解析】分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab－2|=|a－1|=0，解得：a=1,b=2 于是

111???ab?a?1??b?1??a?2??b?2??a?2007??b?2007?