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三校2014届十二月联考
数学试卷（理科）
满分150分，考试时间为120分钟
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的. （1）已知a,b,c,d为实数，且c?d. 则“a?b”是“a?c?b?d”的 （ ）.
（A）充分而不必要条件 （B） 必要而不充分条件 （C）充要条件 （D） 既不充分也不必要条件w
（2）已知f(x)?x2?2xf?(1)，则f?(1)等于 ( ). （A）4 （B）－2 （C）0 （D）2
（3）一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量
为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为 ( ) . （A）16 （B）14 （C）12 （D）10
（4）已知{an}是等差数列,若a1?a9?10,a4?3,则数列{an}的公差等于 （ ）.
（A）?1 （B）1 （C）2 （D）3
（5）已知lga?lgb?0，则函数f(x)?a与函数g(x)??logbx的图象可能是 （ ）.
x
（6）动圆M过定点A且与定圆O相切，那么动圆M的圆心的轨迹是 （ ）.
（A）圆，或椭圆 （B）圆，或双曲线，
（C）椭圆，或双曲线，或直线 （D）圆，或椭圆，或双曲线，或直线
?x?y?3?0?（7）已知直线y?2x上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0， 则实数m的取值范围是
?x?m?（ ）.
（A）(??,?1] （B）[?1,??) （C）[2,??) （D）
·1·
(??,1]
（8）如图，半径为3的扇形AOB的圆心角为120，点C在?AB
uuuruuruuur上，且?COB?30，若OC??OA??OB，则???? ( ).
（A）3 （B）343 （C） （D）23 33（9）已知直线3x?y?2m?0与圆x2?y2?n2相切，其中m,n?N*，且n?m?5，则满足条
件的有序实数对(m,n)共有的个数为 ( ). （A）1 （B）2 （C）3 （D）4
（10）设f?x?是定义在R上的偶函数,且当x?0时,f(x)?ex.若对任意的x?[a,a?1],不等式
f?x?a??f2?x?恒成立,则实数a的最大值是 （ ）.
(A) ?323 (B) ? (C) ? (D) 2 23412则不等
二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）已知一元二次不等式f(x)?0的解集为 {x|x??1,或x?}，
式f(lgx)?0的解集为 .
（12）如图，直角VPOB中，?PBO?90?，以O为圆心、OB为
半径作圆弧交OP于A点．若圆弧?AB等分VPOB的面积， 且?AOB??弧度，则
2tan??2= .
2（13）在?ABC中,sinA?sinB?sinC?sinBsinC，则A的取值范围是________.
]别表示不大于x,y的最大整数，如[1.3]?1,[?0.3]??1.则集合（14）设[x],y[分
S?{(x,y)|[x]2?[y]2?1}表示的平面区域的面积为 . （15）对于平面直角坐标系内任意两点A(x1, y1)，B(x2, y2)，定义它们之间的一种“折线距离”：
则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号) d(A,B)?|x2?x1|?|y2?y1|．
①若A?-1,3?，B?1,0?，则d(A,B)?5；
②若点C在线段AB上，则d(A,C)?d(C,B)?d(A,B)；
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③在?ABC中，一定有d(A,C)?d(C,B)?d(A,B)；
④若A为定点，B为动点，且满足d(A,B)?1，则B点的轨迹是一个圆； ⑤若A为坐标原点，B在直线2x?y?25?0上，则d(A,B)最小值为5.
三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答
题卡上的指定区域内. （16）（本小题满分12分） 已知函数f(x)?cos(x?21)?1，g(x)?sin2x. 122?（Ⅰ）设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值； （Ⅱ）求函数h(x)?f(x)?g(x)的值域.
（17）（本小题满分12分）
前不久，省社科院发布了2019年度“安徽城市居民幸福排行榜”，芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后，师大附中学生会组织部分同学，用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名，如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)： （Ⅰ）指出这组数据的众数和中位数；
（Ⅱ）若幸福度不低于9.5分，则称该人的幸福度“极幸福”.求从这16人中随机选取3人，至多有是“极幸福”的概率；
（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)任选3人，记?表示抽到“极幸福”的人数，求?的分布列及数学期望．
（18）（本小题满分12分）
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为1人
已知a,b是不相等的正常数，实数x,y?(0,??).
a2b2(a?b)2（Ⅰ）求证：，并指出等号成立的条件； ??xyx?y（Ⅱ）求函数f(x)?
（19）（本小题满分12分）
211?,x?(0,)的最小值，并指出此时x的值． x1?2x2x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0)，直线x?3y?3?0经过椭圆C的上顶点B和左焦点
abF，设椭圆右焦点为F?.
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设P是椭圆C上动点,求
|4?(|PF?|?|PB|)|的取值范围,并求取最小值时
的坐标.
（20）（本小题满分13分） 已知函数f(x)?2x2?alnx．
（Ⅰ）若a?4，求函数f(x)的极小值；
点P（Ⅱ）试问：对某个实数m，方程f(x)?m?cos2x在x?(0,??)上是否存在三个不相等的实根？若存在，请求出实数a的范围；若不存在，请说明理由.
（21）（本小题满分14分）
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*2设n?N，圆Cn：x2?y2?Rn(Rn?0)与y轴正半轴的交点为M，与曲线y?x的交点为
1N(,yn)，直线MN与x轴的交点为A(an,0). n(Ⅰ)用n表示Rn和an； (Ⅱ)求证：an?an?1?2； (Ⅲ)设Sn?
7Sn?2n31,，求证：??.aT???in5T2 ii?1i?1nnn
理科数学参考答案
一.选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 D 8 A 9 D 10 C 二.填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. {x|1?x?10}； 12.2； 13. (0,?]； 14. 5； 15. ①②⑤.
310 三.解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域
内.
（16）（本小题满分12分） （Ⅰ）由题知
所以2x0f(x)?1?1cos(2x?)?，因为x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴， 262??6?k?(k?Z)，即2x0?k???6(k?Z)， ……………………3分
故g(x0)?1?111?sin2x0?sin(k??)，当k为偶数时，g(x0)?sin(?)??，
264226264当k为奇数时，g(x0)?1sin??1； ……………………6分 （Ⅱ）由题知h(x)1?11?f(x)?g(x)?cos(2x?)??sin2x
26221?113111?1?[cos(2x?)?sin2x]??(cos2x?sin2x)??sin(2x?)?，……………10分 2622222232所以h(x)的值域为[?1,0]. ……………………12分 （17）（本小题满分12分）
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