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三校2014届十二月联考
数学试卷(理科)
满分150分,考试时间为120分钟
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符
合题目要求的. (1)已知a,b,c,d为实数,且c?d. 则“a?b”是“a?c?b?d”的 ( ).
(A)充分而不必要条件 (B) 必要而不充分条件 (C)充要条件 (D) 既不充分也不必要条件w
(2)已知f(x)?x2?2xf?(1),则f?(1)等于 ( ). (A)4 (B)-2 (C)0 (D)2
(3)一支田径队有男运动员 56人,女运动员 42 人,若用分层抽样的方法从全体运动员中抽出一个容量
为 28 的样本,则样本中男运动员的人数为 ( ) . (A)16 (B)14 (C)12 (D)10
(4)已知{an}是等差数列,若a1?a9?10,a4?3,则数列{an}的公差等于 ( ).
(A)?1 (B)1 (C)2 (D)3
(5)已知lga?lgb?0,则函数f(x)?a与函数g(x)??logbx的图象可能是 ( ).
x
(6)动圆M过定点A且与定圆O相切,那么动圆M的圆心的轨迹是 ( ).
(A)圆,或椭圆 (B)圆,或双曲线,
(C)椭圆,或双曲线,或直线 (D)圆,或椭圆,或双曲线,或直线
?x?y?3?0?(7)已知直线y?2x上存在点(x,y)满足约束条件?x?2y?3?0, 则实数m的取值范围是
?x?m?( ).
(A)(??,?1] (B)[?1,??) (C)[2,??) (D)
·1·
(??,1]
(8)如图,半径为3的扇形AOB的圆心角为120,点C在?AB
uuuruuruuur上,且?COB?30,若OC??OA??OB,则???? ( ).
(A)3 (B)343 (C) (D)23 33(9)已知直线3x?y?2m?0与圆x2?y2?n2相切,其中m,n?N*,且n?m?5,则满足条
件的有序实数对(m,n)共有的个数为 ( ). (A)1 (B)2 (C)3 (D)4
(10)设f?x?是定义在R上的偶函数,且当x?0时,f(x)?ex.若对任意的x?[a,a?1],不等式
f?x?a??f2?x?恒成立,则实数a的最大值是 ( ).
(A) ?323 (B) ? (C) ? (D) 2 23412则不等
二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. (11)已知一元二次不等式f(x)?0的解集为 {x|x??1,或x?},
式f(lgx)?0的解集为 .
(12)如图,直角VPOB中,?PBO?90?,以O为圆心、OB为
半径作圆弧交OP于A点.若圆弧?AB等分VPOB的面积, 且?AOB??弧度,则
2tan??2= .
2(13)在?ABC中,sinA?sinB?sinC?sinBsinC,则A的取值范围是________.
]别表示不大于x,y的最大整数,如[1.3]?1,[?0.3]??1.则集合(14)设[x],y[分
S?{(x,y)|[x]2?[y]2?1}表示的平面区域的面积为 . (15)对于平面直角坐标系内任意两点A(x1, y1),B(x2, y2),定义它们之间的一种“折线距离”:
则下列命题正确的是 .(写出所有正确命题的序号) d(A,B)?|x2?x1|?|y2?y1|.
①若A?-1,3?,B?1,0?,则d(A,B)?5;
②若点C在线段AB上,则d(A,C)?d(C,B)?d(A,B);
·2·
③在?ABC中,一定有d(A,C)?d(C,B)?d(A,B);
④若A为定点,B为动点,且满足d(A,B)?1,则B点的轨迹是一个圆; ⑤若A为坐标原点,B在直线2x?y?25?0上,则d(A,B)最小值为5.
三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答
题卡上的指定区域内. (16)(本小题满分12分) 已知函数f(x)?cos(x?21)?1,g(x)?sin2x. 122?(Ⅰ)设x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴,求g(x0)的值; (Ⅱ)求函数h(x)?f(x)?g(x)的值域.
(17)(本小题满分12分)
前不久,省社科院发布了2019年度“安徽城市居民幸福排行榜”,芜湖市成为本年度安徽最“幸福城”.随后,师大附中学生会组织部分同学,用“10分制”随机调查“阳光”社区人们的幸福度.现从调查人群中随机抽取16名,如图所示的茎叶图记录了他们的幸福度分数(以小数点前的一位数字为茎,小数点后的一位数字为叶): (Ⅰ)指出这组数据的众数和中位数;
(Ⅱ)若幸福度不低于9.5分,则称该人的幸福度“极幸福”.求从这16人中随机选取3人,至多有是“极幸福”的概率;
(Ⅲ)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多)任选3人,记?表示抽到“极幸福”的人数,求?的分布列及数学期望.
(18)(本小题满分12分)
·3·
为1人
已知a,b是不相等的正常数,实数x,y?(0,??).
a2b2(a?b)2(Ⅰ)求证:,并指出等号成立的条件; ??xyx?y(Ⅱ)求函数f(x)?
(19)(本小题满分12分)
211?,x?(0,)的最小值,并指出此时x的值. x1?2x2x2y2已知椭圆C:2?2?1(a?b?0),直线x?3y?3?0经过椭圆C的上顶点B和左焦点
abF,设椭圆右焦点为F?.
(Ⅰ)求椭圆C的标准方程;
(Ⅱ)设P是椭圆C上动点,求
|4?(|PF?|?|PB|)|的取值范围,并求取最小值时
的坐标.
(20)(本小题满分13分) 已知函数f(x)?2x2?alnx.
(Ⅰ)若a?4,求函数f(x)的极小值;
点P(Ⅱ)试问:对某个实数m,方程f(x)?m?cos2x在x?(0,??)上是否存在三个不相等的实根?若存在,请求出实数a的范围;若不存在,请说明理由.
(21)(本小题满分14分)
·4·
*2设n?N,圆Cn:x2?y2?Rn(Rn?0)与y轴正半轴的交点为M,与曲线y?x的交点为
1N(,yn),直线MN与x轴的交点为A(an,0). n(Ⅰ)用n表示Rn和an; (Ⅱ)求证:an?an?1?2; (Ⅲ)设Sn?
7Sn?2n31,,求证:??.aT???in5T2 ii?1i?1nnn
理科数学参考答案
一.选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号 答案 1 B 2 B 3 A 4 C 5 B 6 D 7 D 8 A 9 D 10 C 二.填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11. {x|1?x?10}; 12.2; 13. (0,?]; 14. 5; 15. ①②⑤.
310 三.解答题:本大题共6小题,共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域
内.
(16)(本小题满分12分) (Ⅰ)由题知
所以2x0f(x)?1?1cos(2x?)?,因为x?x0是函数y?f(x)图象的一条对称轴, 262??6?k?(k?Z),即2x0?k???6(k?Z), ……………………3分
故g(x0)?1?111?sin2x0?sin(k??),当k为偶数时,g(x0)?sin(?)??,
264226264当k为奇数时,g(x0)?1sin??1; ……………………6分 (Ⅱ)由题知h(x)1?11?f(x)?g(x)?cos(2x?)??sin2x
26221?113111?1?[cos(2x?)?sin2x]??(cos2x?sin2x)??sin(2x?)?,……………10分 2622222232所以h(x)的值域为[?1,0]. ……………………12分 (17)(本小题满分12分)
·5·