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2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 (附加) 2016.11
B.(矩阵与变换)(本小题满分10分)
???1?已知二阶矩阵M有特征值??8及对应的一个特征向量e1???,并且矩阵M将点(?1,3)变换为
?1?(0,8).
(1)求矩阵M;
(2)求曲线x?3y?2?0在M的作用下的新曲线方程.
C.(极坐标与参数方程)(本小题满分10分)
?x?rcos??2已知平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为?(?为参数,r?0).以直角坐标系原
y?rsin??2?点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2?sin(??π)?1?0.
4(1)求圆C的圆心的极坐标;
(2)当圆C与直线l有公共点时,求r的取值范围.
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22.(本小题满分10分)
某公司对新招聘的员工张某进行综合能力测试,共设置了A、B、C三个测试项目.假定张某通过项目A的概率为立.
(1)用随机变量X表示张某在测试中通过的项目个数,求X的概率分布和数学期望E(X)(用a表示);
(2)若张某通过一个项目的概率最大,求实数a的取值范围.
23.(本小题满分10分)
在如图所示的四棱锥S?ABCD中,SA?底面ABCD,?DAB??ABC?90?,SA?AB?BC?a,AD?3a(a?0),E为线段BS上的一个动点.
1,通过项目B、C的概率均为a(0?a?1),且这三个测试项目能否通过相互独2(1)证明:DE和SC不可能垂直;
(2)当点E为线段BS的三等分点(靠近B)时,求二面角S?CD?E的余弦值.
SEB
ACD
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2016—2017学年第一学期高三期中调研试卷
数 学 参 考 答 案
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分)
1.{x|0≤x≤1} 2.?x?R,使x2?ax?1≥0 3.(?2,1] 4.2 5.7 6.9 7.?2 8.10.2 11.3 12.
?3 9.(?,0]
1410 13.(1,2] 14.a≥0 11二、解答题(本大题共6个小题,共90分) 15.(本题满分14分)
解:(1)函数f(x)?3x???3?x的定义域为R.
∵f(x)为奇函数,∴f(?x)?f(x)?0对?x?R恒成立,
即3???3?3???3?(??1)(3?3)?0对?x?R恒成立,
∴???1. ..........3分 此时f(x)?3x?3?x?1即(3x)2?3x?1?0,
?xxx?xx?x1+51?5或3x?(舍去), ..........6分 221+5}. ..........7分 ∴解集为{x|x?log32解得3x?(2)由f(x)≤6得3x???3?x≤6,即3x?令t?3x?[1,9],原问题等价于t?2?3x≤6,
?t≤6对t?[1,9]恒成立,
亦即?≤?t?6t对t?[1,9]恒成立, ...........10分 令g(t)??t2?6t,t?[1,9],
∵g(t)在[1,3]上单调递增,在[3,9]上单调递减,
∴当t?9时,g(t)有最小值g(9)??27,∴?≤?27. .........14分 16.(本题满分14分)
解:(1)∵a3?2是a2,a4的等差中项,∴2(a3?2)?a2?a4, ........1分 代入a2?a3?a4?28,可得a3?8,
?a1?322?aq?8a?2???11∴a2?a4?20,∴?,解之得或?1, .......4分 ?3q?q?2????a1q?a1q?202??a1?2∵q?1,∴?,∴数列{an}的通项公式为an?2n. ..........6分
?q?2(2)∵bn?anlog1an?2nlog12n??n?2n, ..........7分
22∴Sn??(1?2?2?22???n?2n), ……①
2Sn??(1?22?2?23???(n?1)?2n?n?2n?1), ……②
②-①得Sn?2?22?23???2n?n?2n?1
2(1?2n)??n?2n?1?2n?1?2?n?2n?1. ..........12分
1?2
7
∵Sn?n?2n?1?62,∴2n?1?2?62,∴n?1?6,n?5, .........13分 ∴使S1n?n?2n??62成立的正整数n的最小值为6. ..........14分 17.(本题满分15分)
解:(1)f(x)?(sinx?3cosx)cosx?sinxcosx?3cos2x
?12sin2x?32cos2x?32?sin(2x??3)?32. ........2分 由0≤x≤?32得,??4?3≤2x?3≤3,?2≤sin(2x??3)≤1,.......4分 ∴0≤sin(2x??33)?2≤1?332,即函数f(x)的值域为[0,1?2]. ...6分 (2)由f(A)?sin(2A??3)?32?32得sin(2A??3)?0,
又由0?A??2,∴?3?2A??3?4?3,∴2A??3??,A??3. .....8分
在?ABC中,由余弦定理a2?b2?c2?2bccosA=7,得a?7.......10分 由正弦定理
absinA?sinB,得sinB?bsinAa?217, ......12分 ∵b?a,∴B?A,∴cosB?277,
∴cos(A?B)?cosAcosB?sinAsinB?1272?7?32?217?5714 .....15分
18.(本题满分15分)
解:(1)平行四边形ABCD的面积为S?2?1?ABCD2?1?2sin120??3,
当点F与点D重合时,S?1CE?CD?sin120?3?CFE2?4x,
∵S14,∴33?CFE?S?ABCD4x=4,x?1(百米),∴E是BC的中点. ....3分 (2)①当点F在CD上时,
∵S1131?CFE?2CE?CF?sin1200?4S?ABCD?4,∴CF?x, ........4分
在三角形CDE中,EF2?CE2?CF2?2CE?CF?cos1200,
∴y?x2?1x2?1≥3,当且仅当x?1时取等号, 此时E在BC中点处且F与D重合,符合题意; ..............8分 ②当点F在DA上时,
∵S(x?FD)梯形CEFD?2?32?14S3?ABCD?4,∴DF?1?x, ..........9分Ⅰ.当CE?DF时,过E作EG∥CD交DA于G,
在?EGF中,EG?1,GF?1?2x,?EGF?60?,由余弦定理得y?4x2?2x?1; Ⅱ.当CE≥DF,过E作EG∥CD交DA于G,
在?EGF中,EG?1,GF?2x?1,?EGF?120?,由余弦定理得y?4x2?2x?1;
由Ⅰ、Ⅱ可得y?4x2?2x?1?4(x?134)2?4, ............13分
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