内容发布更新时间 : 2024/5/16 3:34:07星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第七章 假设检验

§7.1 假设检验的基本思想与概念

7.1.1 假设检验问题

例1 某厂生产的合金强度服从正态分布N(?,16)，其中?的设霅值为不低于110(Pa)。为了保证质量，该厂每天都要对生产情况做例行检查，以判断生产是否正常进行，即该合金的平均强度不低于110。某天从生产中随机抽取25块合金，没得强度值为x1,?,x25，其均值为x?108，问当日生产是否生产正常？

分析：

(1)这不是一个参数估计问题。

(2)这是在给定总体与样本下，要求对命题“合金平均强度不低于110”作出回答：“是”还是“否”？这类问题称为统计假设问题，简称假设检验问题。

(3)命题：“合金平均强度不低于110”正确与否仅涉及参数?，因此该命题是否正确将涉及如下两个参数集合：

?0?{?:??110}，?1?{?:??110}

命题成立对应于“???0”，命题不成立则对应“???1”。在统计学中这两个非空参数集合都称作统计假设，简称假设。

(4)我们的任务是利用所给总体N(?,16)和样本均值x?108去判断假设(命题) ???0是否成立。这里的“判断”在统计学中称为检验或检验法则。 检验结果有两种：

“假设不正确”—称为拒绝该假设

“假设正确”—称为接收该假设

(5)若假设可用一个参数的集合表示，该假设检验问题称为参数假设检验问题，否则称为非参数假设检验问题。上例中就是一个参数假设检验问题。

7.1.2 假设检验的基本步骤

一、建立假设

原假设：被检验的假设H0。一般不应轻易加以否定的假设。

备择假设：当H0被拒绝时而接收的假设H1。二者多是成对出现。如例中建立：H0：???0?{?:??110}vsH1：???1?{?:??110} 若简写为H0：{?:??110}vsH1：{?:??110}

二、选择检验统计量，给出拒绝域形式

由样本对原假设进行判断总是通过一个统计量完成的，该统计量称为检验统计量。如例1中的x，在方差已知的场合，它是总体均值的充分统计量。

拒绝域：使原假设被拒绝的样本观测值的在区域称为拒绝域。一般应是样本空间的一个子集，并用W表示。如例1中有：

W?{(x1,?,xn):x?c}?{x?c}

确定拒绝域后，检验的判断准则也确定了： 如果(x1,?,xn)?W，则认为H0不成立。 如果(x1,?,xn)?W，认为H0成立。 一般将W称为接收域。 三、选择显著性水平

两类错误：当H0为真时，仍可能做出拒绝H0的判断，这类错误称为犯第Ⅰ类错误，也称为“弃真”或“拒真”；犯第一类错误的概率为 ??P{拒绝H0| H0为真}=P?(X?W)，???0

其中X=(x1,?,xn)表示样本。另一种错误是在H0不真(即H1为真)时，却接受H0，称为犯第Ⅱ类错误，也称为“取伪”或“受伪”。通常记为?，即 ??P{拒绝H0| H1为真}=P?(X?W)，???1

定义7.1.1 设检验问题

H0：???0vsH1：???1

的拒绝域为W，则样本观测值X落在拒绝域W内的概率称为该检验的势函数，记为

g(?)?P?(X?W)，?????0??1

??(?),???0注意：g(?)??

1??(?),???1?例1中的拒绝域W?{x?c}，则该检验的势函数为

g(?)?P?(x?c)?P?(x??c??c???)??() 4/54/54/5这个势函数是?的减函数。如图

利用这个势函数容易写出其犯两类错误的概率分别为

?(?)??(c??),???0 4/5c???(?)?1??(),???1

4/5由以上二式可以看出犯两类错误的概率?,?之间的关系

当?减小时，由第一个式子知c也随之减小，再由第二式知，c的减小必然导致?的增大，；当?减小时，由第二式知，c会增大，再由第一式知，c的十六大必然导致?的增大。这说明在样本量一定的条件下不可能找到一个使

?,?都小的检验。

定义7.1.2 对检验问题H0：???0vsH1：???1，如果一个检验满足对任意的???0，都有

g(?)??

则称该检验是显著性水平为?的显著性检验，简称水平为?的检验。

四、给出拒绝域

在确定显著性水平后，我们可以写出检验的拒绝域W，在例1中，若取?为

c??)?0.05，由于g(?)是关4/5c?110于?的单调减函数，只需要g(110)??()?0.05成立即可。由此可先

4/5c?110确定标准正态分布的0.05分位数u0.05??u0.95。它使得?u0.05，从而c4/5的值为c?110?0.8u0.05?110?0.8?1.645?108.684

0.05，则要求对任意的??110，有g(?)??(所以，检验的拒绝域为

W?{x?108.684}

x?110若令u?，则拒绝域有另一种表示，即

4/5W?{u?u0.05}?{u??1.645}

五、做出判断

在有明确的拒绝域后，根据样本观测值可以做出判断：

当x?108.684或u??1.645时，则拒绝H0，即接收H1； 当x?108.684或u??1.645时，则接收H0。

在例1中，由于x?108?108.684，因此拒绝原假设，即认为该日生产不正常。

§7.2 正态总体参数假设检验

参数假设检验常见的三种基本形式 (1)H0:???0 vs H1:???0 (2)H0:???0 vs H1:???0 (3)H0:???0 vs H1:???0

一般这三种假设检验所采用的检验统计量是相同的，差别在拒绝域上。当备择假设在原假设一侧时的检验称为单侧检验，当备择假设分散在原假设两侧时的检验称为双侧检验。以上前两种情况是单侧检验，最后一种情况是双侧检验。

7.2.1 单位正态总体均值的检验

设x1,?,xn是来自N(?,?)的样本，考虑如下三种关于?的检验问题

2H0:???0 vs H1:???0 H0:???0 vs H1:???0