内容发布更新时间 : 2024/12/23 4:20:03星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第四章 随机变量的数字特征

I 教学基本要求

1、理解随机变量的数学期望与方差的概念，掌握它们的性质与计算，会求随机变量函数的数学期望；

2、掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望与方差；

3、了解切比雪夫不等式及应用；

4、掌握协方差、相关系数的概念与性质，了解矩和协方差矩阵的概念； 5、了解伯努利大数定理、切比雪夫大数定律、辛钦大数定理；

6、了解林德伯格－列维中心极限定理、棣莫弗―拉普拉斯中心极限定理，掌握它们在实际问题中的应用.

II 习题解答

A组

1、离散型随机变量X的概率分布为

X p 求E(X)、E(3X?5)、E(X)？

2-2 0.40 0 0.30 2 0.30 解：E(X)?(?2)?0.40?0?0.30?2?0.30??0.2；

E(3X?5)?3E(X)?5?4.4；

E(X2)?(?2)2?0.40?02?0.30?22?0.30?1.8.

2、某产品表面瑕疵点数服从参数??0.8的泊松分布，规定若瑕疵点数不超过1个为一等品，每个价值10元，多于4个为废品，不值钱，其它情况为二等品，每个价值8元.求产品的平均价值？

解：设X为产品价格，则X?0、8、10.通过查泊松分布表可知其相应概率分布为

X p 0 0.0014 8 0.8088 10 0.1898 则E(X)?8?0.1898?10?0.8088?9.61(元).

x?0?0?3、设随机变量X的分布函数为F(x)??x/40?x?4.求E(X)？

?1x?4?解：由分布函数知X的密度函数为

?1/40?x?4 f(x)??其它?0则E(X)??????xf(x)dx??40xdx?2. 4k?14、设随机变量X服从几何分布，即p(X?k)?p(1?p)(k?1,2,L)，其中

0?p?1是常数.求E(X)？

解：E(X)??kp(1?p)k?1??k?1?p?k(1?p)k?1

k?1??由级数

12k?1?1?2x?3x?L?kx?L(|x|?1)，知 2(1?x)11?.

[1?(1?p)]2pE(X)?p?5、若随机变量X服从参数为?的泊松分布，即

p(X?k)??kk!2e?? (k?0,1,2,L)

求E(X)、E(X)？

解：E(X)????kk!ek?02???k????e???(k?1)!??e?e???；

?k?0???k?1E(X)??k2k?0???kk!e????k?k?1(k?1)?k????e???e[?]

k!k?1(k?1)!k?0????????e[????k?1?k?1(k?1)!??k?0?kk!]??e??(?e??e?)??2??.

6、某工程队完成某项工程的时间X(单位:月)服从下述分布

X p 10 0.4 11 0.3 12 0.2 13 0.1 (1) 求该工程队完成此项工程的平均时间；

(2) 设该工程队获利Y?50(13?X)(万元).求平均利润？ 解：(1) E(X)?10?0.4?11?0.3?12?0.2?13?0.1?11(月)；

(2) E(Y)?E[50(13?X)]?650?50?E(X)?100(万元). 7、若随机变量X服从区间[a,b]上的均匀分布，即

?1?f(x)??b?a??02a?x?b其它

求E(X)、E(X)？

解：E(X)??????xf(x)dx??bbaxa?b； dx?b?a2E(X)??2????xf(x)dx??2ax2a2?ab?b2dx?. b?a38、若随机变量X服从参数为?的指数分布，即

??e??xf(x)???０2x?0 x?0求E(X)、E(X)？

解：E(X)??????xf(x)dx????0x?e??xdx?????0xde??x

??xe??x2??0??e??xdx?0??1???0；

E(X)??????xf(x)dx??2x?e2??xdx??xe2??x??0?2???0xe??xdx?2?2.

9、离散型随机变量X的概率分布为

X p 求E(X)、E[ln(X?2)]？

解：E(X)?0?0 3/12 2 4/12 6 5/12 34519?2??6??； 121212634513E[ln(X?2)]?ln(0?2)??ln(2?2)??ln(6?2)??ln2.

1212126210、设X~N(?,?)，求E(|X??|)？

解：E(|X??|)?令t?12???????|x??|e?(x??)22?2dx

x???，由偶函数性质有

E(|X??|)??2????0t22ed()??.

2??t2211、设某商品需求量X:U(10,30)，销售商进货量n在(10，30)之间，是一个整数.每销售一件商品获利500(元)，若供小于求，每件产品亏损100(元).若供大于求，则从外地调运，每件商品可获利300(元).为使利润期望值不少于9280(元)，进货量最少应为多少?

解：按题意利润Y与X、n的关系为

?500n?300(X?n)10?n?X?30 Y???500X?100(n?X)10?X?n?30则利润平均值为

n1nE(Y)?[?[500X?100(n?X)]dx??[500n?300(X?n)]dx

102010??7.5n2?350n?5250

由题意知

?7.5n2?350n?5250?9280

解得

62?n?26，则最少进货量为21. 312、某保险公司规定，如果一年内顾客投保事件A发生，则赔偿顾客a元.以往资料表明事件A发生的概率为p.为使公司收益期望值为0.1a，则应向顾客收取都少保费?

解：设应向顾客收取x元保费，公司的收益为Y元.则

Y x x?a p 1?p p 按题意E(Y)?x(1?p)?(x?a)p?0.1a 解得x?ap?0.1a.

x?1?cos13、设随机变量X的密度函数为f(x)??22??02

0?x??其它.对X进行独立重复观测

4次，Y表示观测值大于?/3的次数，求Y的数学期望？

解：显然Y~b(4,p)，其中p是(X??/3)的概率，故

p?p(X?所以

?3)????31xcosdx?0.5 22kp(Y?k)?C40.5k?0.54?k (k?0,1,2,3,4)

则有

kE(Y)??k2C40.5k?0.54?k?5.

2k?0414、设随机变量X、Y相互独立，且都服从标准正态分布.求Z?望？

解：由题意知X、Y的联合密度函数为

y21?x2?2 f(x,y)?e2?X2?Y2的数学期

于是

E(Z)???????????1x?yf(x,y)dxdy?2?22??????????x?ye22?x2?y22dxdy

令x?rcos?、y?rsin?得

1E(Z)?2???02???0redrd???redr?02?r22??2?r22?2. 15、已知(X,Y)的分布如下，令Z?max{X,Y}，求E(Z)？

Y X 0 5 10 0 0.02 0.04 0.01 5 0.06 0.15 0.15 10 0.02 0.20 0.14 15 0.10 0.10 0.01 解：由题设可得Z的分布为

Z p 0 0.02 5 0.25 10 0.52 15 0.21 E(Z)?0?0.02?5?0.25?10?0.52?15?0.21?9.6.

16、设(X,Y)的联合密度函数为

?12y2f(x,y)???00?y?x?1其它