内容发布更新时间 : 2024/12/23 9:26:23星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。
哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊第八节 第三课时 定点、定值、探索性问题
课时作业 A组——基础对点练
1.已知动点C到点F(1,0)的距离比到直线x=-2的距离小1,动点C的轨迹为E. (1)求曲线E的方程;
→→
(2)若直线l:y=kx+m(km<0)与曲线E相交于A,B两个不同点,且OA·OB=5,证明:直线l经过一个定点.
解析:(1)由题意可得动点C到点F(1,0)的距离等于到直线x=-1的距离,
∴曲线E是以点(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线,设其方程为y=2px(p>0),∴
2
p2
=1,∴p=2,
2
∴动点C的轨迹E的方程为y=4x. (2)设A(x1,y1),B(x2,y2), 由?
?y=kx+m,?
??y=4x,
222
2
得kx+(2km-4)x+m=0, 4-2kmm∴x1+x2=,x1·x2=2. 2
2
kkm+4km→→22∵OA·OB=5,∴x1x2+y1y2=(1+k)x1x2+km(x1+x2)+m==5, 2
k∴m+4km-5k=0,∴m=k或m=-5k. ∵km<0,∴m=k舍去,
∴m=-5k,满足Δ=16(1-km)>0, ∴直线l的方程为y=k(x-5), ∴直线l必经过定点(5,0).
2.(2018·昆明市检测)已知点A,B的坐标分别为(-2,0),(2,0),直线AM,BM相1
交于点M,且它们的斜率之积是-,点M的轨迹为曲线E.
2(1)求曲线E的方程;
→→→→
(2)过点F(1,0)作直线l交曲线E于P,Q两点,交y轴于R点,若RP=λ1PF,RQ=λ2QF,证明:λ1+λ2为定值.
解析:(1)设点M(x,y),由已知得
2
2
2
y1·=-(x≠±2),
2x+2x-2
y 1
哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊化简得曲线E的方程:+y=1(x≠±2).
2(2)证明:设点P,Q,R的坐标分别为
x2
2
P(x1,y1),Q(x2,y2),R(0,y0).
→→
由RP=λ1PF,得(x1,y1-y0)=λ1(1-x1,-y1), λ1y0
所以x1=,y1=,
1+λ11+λ1
1λ12y02
因为点P在曲线E上,所以()+()=1,
21+λ11+λ1化简得λ1+4λ1+2-2y0=0 ①,
λ2y0→→
同理,由RQ=λ2QF,可得x2=,y2=,
1+λ21+λ2代入曲线E的方程化简得λ2+4λ2+2-2y0=0 ②,
由①②可知λ1,λ2是方程x+4x+2-2y0=0的两个实数根(Δ>0), 所以λ1+λ2=-4,即λ1+λ2为定值.
3.在平面直角坐标系中,已知点A(-3,0),B(3,0),直线MA,MB交于点M,它们的斜率之积为常数m(m≠0),且△MAB的面积最大值为3,设动点M的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程;
→→
(2)过曲线E外一点Q作E的两条切线l1,l2,若它们的斜率之积为-1,那么QA·QB是否为定值?若是,请求出该值;若不是,请说明理由. 解析:(1)设M(x,y),则由已知得
2
2
2
2
2
2
yx2
x+3x-3
·
y=m,即y=m(x-3),
22
y2
即-=1(x≠±3).(*) 33m①当m>0时,方程(*)表示双曲线,此时△MAB面积不存在最大值(不符合); ②当m=-1时,方程(*)表示圆,此时△MAB的面积最大值为3(不符合);
1
③当m<0且m≠-1时,方程(*)为椭圆,此时△MAB的面积最大值为3,所以m=-.
3此时所求的方程为+y=1(x≠±3).
3
(2)设Q(x0,y0),过点Q的切线l为y=k(x-x0)+y0,
x2
2
y=kx-x0+y0,??2由?x2
+y=1,??3
消去y得
2
哈哈哈哈哈哈哈哈你好好啊(1+3k)x+6k(y0-kx0)x+3(y0-kx0)-3=0,
则Δ=36k(y0-kx0)-4(1+3k)·3[(y-kx0)-1]=0, 化简得(3-x0)k+2x0y0k+1-y0=0, 1-y0
于是k1·k2=2,由已知斜率之积为-1,
3-x01-y022则3), 2=-1,则x0+y0=4(x0≠±3-x0
→→1→2→2
所以|OQ|=2,于是QA·QB=[(2QO)-AB]=1.
4
2
2
2
2
2
2
2
2
2
222
x2y21
4.已知椭圆C:2+2=1(a>b>0)的焦点为F1,F2,离心率为,点P为其上一动点,且三角
ab2
形PF1F2的面积最大值为3,O为坐标原点. (1)求椭圆C的方程;
→→
(2)若点M,N为C上的两个动点,求常数m,使OM·ON=m时,点O到直线MN的距离为定值,求这个定值.
??bc=3,解析:(1)依题意知?
c1??a=2,?a=2,
解得?
?b=3,
c2=a2-b2,
所以椭圆C的方程为+=1.
43
(2)设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2+y1y2=m,
当直线MN的斜率存在时,设其方程为y=kx+n,则点O到直线MN的距离d=
|n|
x2y2
k2+1
=
n2k2+1
,
2
2
?3x+4y=12,?
联立,得?
??y=kx+n,
2
2
2
消去y,
得(4k+3)x+8knx+4n-12=0, 由Δ>0得4k-n+3>0,则 -8kn4n-12
x1+x2=2,x1x2=2,
4k+34k+3
所以x1x2+(kx1+n)(kx2+n)=(k+1)x1x2+kn(x1+x2)+n=m,
2
2
2
2
2
3