内容发布更新时间 : 2024/5/21 7:09:50星期一 下面是文章的全部内容请认真阅读。

第一章 实数和数列极限

第十一节 上极限和下极限

上极限和下极限是极限理论与确界理论的应用和发展，具有重要的理论价值，使用上也更方便。

一 有界数列的上极限和

下极限的定义

对于一个有界数列{an}，去掉它的最初k项以后，剩下来的仍旧是一个有界数列，记这数列的上确界为?k，下确界为?k， 亦即

?k?sup{an}n?k

?sup{ak?1,ak?2,ak?3?}，

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?k?inf{an}n?k

?inf{ak?1,ak?2,ak?3?}，

令k?1,2,3,?，于是得到一列

{?k}和一列{?k}。

显然?k??k，k?1,2,3,?。 显然数列{?k}是递减的（单调减少的），{?k}是递增的（单调增加的），且{?k}和{?k}都有界，根据单调有界原理， 数列

{?k}和{?k}的极限都存在。记

lim?k??k?H?h，

lim?k??k ，

显然有h?H 。

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我们称{?k}的极限是{an}的上

supalim极限，记为

n??n（或

liam{?}n）k；的极限是{an}的下n??infalim极限，记为

n??n（或

liamnn??）。

也就是

supa?lim?lim

nn??k??k ，

?limsup{an}?Hk??n?kkliminfa?lim?nn??k??k??n?k

。

?liminf{an}?h例如 数列{an?(?1)n?1}，显然

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