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武汉大学数学与统计学院

2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题 A卷

一、（42分）试解下列各题：

1、计算2、求解微分方程3、计算4、计算

.

的通解。 .

.

5、求曲线

自至一段弧的长度。

6、设，求

.

确定，

二、（8分）已知，其中由方程

求

.

,

，试证明数列

收敛，并求

三、（8分）设

.

四、（15分）已知函数1、函数

，求：

的单调增加、单调减少区间，极大、极小值；

2、函数图形的凸性区间、拐点、渐近线 。

五、（12分）已知函数

满足微分方程，

且轴为曲线在原点相切，在曲线（）上某点处作一切线，使之与曲线、轴所围平面图形的面积为，试求：（1）曲线的方程；（2）切点的坐标；（3）由上述所围图形绕轴旋转一周所得立体的体积。

六、（10分）设

在上连续，在内可导，且

，证明：

（1）存在，使;

，使

.

，求证：

（2）对任意实数，必存在七、（5分）设函数

，

武汉大学数学与统计学院

满足下列两个等式：.

2009—2010第一学期《高等数学A1》期末考试试题参考答案 A卷

一、 （42分）试解下列各题：

1、解：原极限=

2、解：齐次方程的特征方程为，它有复数根

，故原方程的通解为：

3、解：原式=4、解：

5、解：6、解：

二、（8分）解：

，方程两边微分得：

故有

三、（8分）解：, ，因此

设，则

单调增加，且,故存在

设，则: 解得 .因为非负， ∴

四、（15分）解：定义域为 令驻点 ，不可导点

1） 故单调增加区间为：

，单调减少区间为：

极小值为：

，无极大值。

2）下凸区间为： ，无拐点，由，故为函数图形的铅直渐近线。

又

故

为函数图形的斜渐近线。

五、（12分）解：（1）由观察法知曲线方程为：或解微分方程：特征方程为以微分方程的特解设为故

为微分方程的通解，又

，即曲线方程为：

，故对应齐次方程的通解为

，从而有：，由题设知

，由于

，所，，所以微

分方程满足初值条件的解为