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高等数学基础应用题及参考答案

2010.12 1.（17页例5）

圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为

，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？

解：如图所示，圆柱体高h与底半径r满足 h2?r2?L2 圆柱体的体积公式为

V??rh 将r?L?h代入得

V??(L2?h2)h 求导得

222?(L?h)?)? V???(?2h2(L?2L r h2223h 2)令V??0得h?最大.

2.17页例6

3663L，并由此解出r?L.即当底半径r?L，高h?L时，圆柱体的体积3333求曲线y?x上的点，使其到点A?3,0?的距离最短．

2解：曲线y?x上的点，到点A?3,0?的距离公式为

2设所求的点P?x,y?,PA?d, 则y2?x,(x?0)d＝?x?3???y?0?2x?5222?x2?6x?9?x?x2?5x?92x?5x?95得x?

25易知，x?是函数d的极小值点，也是最小值点.2510此时， y2?,y??,22?510??510??所求的点为P?,或P,?.???22???2?2?????510??510?,或P,?即曲线y2?x上的点P?到点A?3,0?的距离最短。 ???22???2?2????

令d???0,

3.17页例7

欲做一个底为正方形，容积为108立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？ 解：设底边的边长为x，高为h，用材料为y，由已知xh?108,h?2108 2xy?x2?4xh?x2?4x?令y??2x?且y???2?1084322 ?x?2xx432?0，解得x?6是唯一驻点， x2?0，

x?62?432x3说明x?6是函数的极小值点，所以当x?6，h?

4.35页第一题 求曲线

上的点，使其到点

108?3时用料最省。 36的距离最短．

3.解： 设所求的点P?x,y?,PA?d, 则y2?2x,(x?0)d＝?x?2???y?0?2x?22x?2x?4222?x2?4x?4?2x?x2?2x?4x?1x?2x?42令d??得x?1??0,

易知，x?1是函数d的极小值点，也是最小值点.此时， y2?2?1?2,y??2,?所求的点为P1,2或P1,?2.即曲线y2???2x上的点P?1,2?或P?1,?2?到点A?2,0?的距离最短

??

5.35页第2题

某厂要生产一种体积为V的无盖圆形铁桶，问怎样才能使用料最省？

解：设容器的底半径为r，高为h，则其表面积为

S?πr2?2πrh?πr2?S??2πr?由S??0，得唯一驻点r?3器的底半径与高均为32V r2V 2rVVV，由实际问题可知，当r?3时可使用料最省，此时h?3，即当容2π2ππV时，用料最省． π6.35页第3题

欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设长方体的底边长为x米，高为h米，用材料为y. 则

由已知x2h?62.5得h?y?x2?4xh?x2?250 ，x得x3?125，x?5

x 62.5 2xh 令y??2x?250?0x2易知，x?5是函数S的极小值点，也是最小值点.

62.5?2.5 2.5答：当该长方体的底边长为5米，高为2.5米时用料最省。

此时有，h?

7.形考作业册13页第5题

一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？

解：设圆柱体半径为R，高为h，表面积为s，则 V2V2h?,S?2?Rh?2?R??2?R2 2?RR令S??4?R?2V?02R得R?3??V?VV?33?当R??0,时，S?0,当R?,??时，S??0 ???????2?2????2???R?V是函数S的极小值点，也是最小值点.2?

4V此时h=3.3R h

?答：当R?3

V4V h?3时表面积最大. 2??